754.

Algebarski oblik

TEKST ZADATKA

Izračunati

i\sqrt{i}
REŠENJE ZADATKA

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je i=x+iy,\sqrt{i}=x+iy, gde su xx i yy realni brojevi koje treba odrediti.

Kvadrirati obe strane.

i=x+iyi=(x+iy)2i=x2+2xyi+i2y2\sqrt{i}=x+iy \\ i=(x+iy)^2 \\ i=x^2+2xyi+i^2y^2

Pošto je i2=−1i^2=-1 dobija se:

i=x2+2xyi−y2i=x^2+2xyi-y^2

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x2−y2=02xy=1 x^2-y^2=0 \\ 2xy=1
DODATNO OBJAŠNJENJE

Iz druge jednačine izraziti y.y.

2xy=1  ⟹  y=12x2xy=1 \implies y=\frac 1 {2x}

Uvrstiti y=12xy=\frac{1}{2x} u prvu jednačinu.

x2−(12x)2=0x2−14x2=04x4−1=0x^2-\bigg(\frac{1}{2x}\bigg)^2=0 \\ x^2-\frac1{4x^2}=0 \\ 4x^4-1=0

Uvesti smenu t=x2.t=x^2.

4t2−1=04t^2-1=0

Primeniti formulu za razliku kvadrata: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(2t−1)(2t+1)=0(2t-1)(2t+1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

2t−1=0∨2t+1=0t1=12∨t2=−122t-1=0 \quad\lor\quad 2t+1=0 \\ t_1=\frac12 \quad\lor\quad t_2=-\frac12

Kako je t=x2t=x^2 ne može biti negativno, rešenje t2=−12t_2=-\frac12 se odbacuje.

Za t1=12t_1=\frac12 rešenja za xx su:

x1=22∨x2=−22x_1=\frac{\sqrt2}2 \quad\lor\quad x_2=-\frac{\sqrt2}2

Rešenja za yy su:

y1=12⋅22=12=22y2=1−2⋅22=1−2=−22y_1=\frac1{2\cdot\frac{\sqrt2}2}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2 \\ y_2=\frac1{-2\cdot\frac{\sqrt2}2}=\frac1{-\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}2

Za x1=22x_1=\frac{\sqrt2}2 i y1=22y_1=\frac{\sqrt2}2 rešenje je:

i=22+22i=(1+i)22\sqrt i =\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2i=\frac{(1+i)\sqrt2}2

Za x2=−22x_2=-\frac{\sqrt2}2 i y2=−22y_2=-\frac{\sqrt2}2 rešenje je:

i=−22−22i=−(1+i)22\sqrt i =-\frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt2}2i=-\frac{(1+i)\sqrt2}2

Dva moguća rešenja su:

(1+i)22,−(1+i)22\frac{(1+i)\sqrt2}2, \quad -\frac{(1+i)\sqrt2}2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti