489.

Zadatak

TEKST ZADATKA

U razvoju binoma (x2+ax)m, x≠0, m∈N, \big(x^2+\frac a x\big)^m, \ x\not=0, \ m\in N , koeficijenti četvrtog i trinaestog člana su međusobno jednaki. Naći član koji ne sadrži x.x.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: Tk+1=(nk)a(n−k)bk,T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k, gde su: n=m,n=m, a=x2,a=x^2, b=axb=\frac{a}{x}

Tk+1=(mk)(x2)m−k(ax)k=(mk)x2⋅(m−k)akx−k=(mk)x2m−2k−kak=(mk)x2m−3kakT_{k+1}=\binom{m}{k} (x^2)^{m-k} \bigg(\frac a x\bigg)^k = \binom{m}{k} x^{2\cdot(m-k)} a^k x^{-k}= \binom{m}{k} x^{2m-2k-k} a^k = \binom{m}{k} x^{2m-3k} a^k

Postaviti uslov da binomni koeficijenti četvrtog i trineastog člana budu jednaki:

(m3)=(m12)\binom {m}{3}=\binom m {12}

Iskoristiti svojstvo simetrije binomnih koeficijenata: (mk)=(mm−k).\binom{m}{k} = \binom{m}{m-k}. To znači da se (m3)\binom{m}{3} može zapisati kao (mm−3).\binom{m}{m-3}.

(mm−3)=(m12)\binom {m}{m-3}=\binom m {12}

Pošto su binomni koeficijenti s istim gornjim indeksom jednaki samo ako su im donji indeksi identični mora da važi jednakost:

m−3=12  ⟹  m=15m-3 = 12 \quad \implies \quad m=15

Potrebno je pronaći član koji ne sadrži x,x, što znači da eksponent uz xx treba biti jednak nuli.

2m−3k=0 2m-3k=0

Rešavanjem jednačine i uvrštavanjem m=15m = 15 dobija se:

k=10k=10
DODATNO OBJAŠNJENJE

Traženi član binomnog razvoja koji ne sadrži xx odgovara k=10,k=10, a pošto indeksiranje počinje od 0, to je jedanaesti član.

T11=(1510)x2⋅15−3⋅10a10=3003a10T_{11}= \binom{15}{10} x^{2\cdot15-3\cdot10} a^{10}=3003a^{10}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti