Približne vrednosti realnih brojeva

Brojevi kao $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$ imaju beskonačan decimalni zapis, pa ih u praksi ne možemo zapisati tačno. Umesto toga koristimo njihovu približnu vrednost, dobijenu zaokruživanjem. Time pravimo grešku, koju je moguće izmeriti i oceniti.

Sadržaj

• 1. Zaokruživanje na n decimala
• 2. Apsolutna i relativna greška
• 3. Granica greške i procena iz intervala
• 4. Greške pri računanju

1. Zaokruživanje na n decimala

Da broj zaokružimo na $n$ decimala, gledamo $(n+1)$ cifru, to jest prvu cifru koju odbacujemo. Ona određuje koje se od sledećih pravila primenjuje.

Broj	Na 2 decimale	Zašto
$2{,}6543$	$2{,}65$	treća cifra $4 < 5$
$0{,}6781$	$0{,}68$	treća cifra $8 > 5$
$29{,}16501$	$29{,}17$	treća cifra $5$, a iza nje $01 \neq 0$
$8{,}155$	$8{,}16$	treća cifra $5$, druga cifra $5$ (neparna)
$5{,}365$	$5{,}36$	treća cifra $5$, druga cifra $6$ (parna)

2. Apsolutna i relativna greška

Kada tačnu vrednost $x$ zamenimo približnom vrednošću $x'$, pravimo grešku. Meri se na dva načina:

• Apsolutna greška: $\Delta(x') = |x - x'|$, koliko ukupno odstupamo.
• Relativna greška: $\delta(x') = \dfrac{\Delta(x')}{|x|}$, koliko odstupamo u odnosu na veličinu broja, često izražena u procentima.

3. Granica greške i procena iz intervala

Ponekad ne znamo tačnu vrednost broja $x$, ali znamo da se ona nalazi između dva broja:

$a \le x \le b$

To znači da se prava vrednost može nalaziti bilo gde u intervalu od $a$ do $b$.

Ako želimo da jednom vrednošću što bolje približimo broj $x$, prirodno je da izaberemo sredinu intervala, jer je jednako udaljena od oba kraja:

$x' = \frac{a + b}{2}$

Ova vrednost $x'$ predstavlja najbolju približnu vrednost broja $x$ kada znamo samo da se $x$ nalazi u intervalu $[a, b]$.

Kolika može biti greška? Pošto se $x$ može nalaziti bilo gde između $a$ i $b$, najveća moguća udaljenost od sredine $x'$ jednaka je rastojanju od sredine do jednog kraja intervala:

$\varepsilon = \frac{b - a}{2}$

Veličinu $\varepsilon$ nazivamo granicom apsolutne greške. Zato za svaku moguću vrednost $x$ iz intervala važi:

$|x - x'| \le \varepsilon$

Drugim rečima, greška pri zameni tačne vrednosti $x$ približnom vrednošću $x'$ ne može biti veća od $\varepsilon$. Zbog toga približnu vrednost često zapisujemo kraće:

$x = x' \pm \varepsilon$

Ovaj zapis znači da se tačna vrednost nalazi između $x' - \varepsilon$ i $x' + \varepsilon$:

$x' - \varepsilon \le x \le x' + \varepsilon$

4. Greške pri računanju

Kada računamo sa približnim brojevima, greške se prenose po jednostavnim pravilima:

• Zbir i razlika: apsolutne greške se sabiraju, $\Delta(x \pm y) = \Delta x + \Delta y$.
• Proizvod i količnik: relativne greške se sabiraju, $\delta(x \cdot y) \approx \delta\!\left(\frac{x}{y}\right) \approx \delta x + \delta y$.