2869. Trigonometrijske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Izrazi $\operatorname{tg} 2x$ i $\operatorname{tg} 3x$ moraju biti definisani, što znači da argumenti ne smeju biti oblika $\frac{\pi}{2} + k\pi .$

\begin{cases} 2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \\ 3x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \end{cases}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rastavljamo član $-4 \operatorname{tg} 2x$ na $-3 \operatorname{tg} 2x - \operatorname{tg} 2x$ kako bismo grupisali članove sa koeficijentom 3.

3 \operatorname{tg} 3x - 3 \operatorname{tg} 2x - \operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg}^2 2x \operatorname{tg} 3x

Prebacujemo $-\operatorname{tg} 2x$ na desnu stranu i izdvajamo zajedničke faktore na obe strane.

3 (\operatorname{tg} 3x - \operatorname{tg} 2x) = \operatorname{tg} 2x (1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3x)

Delimo obe strane jednačine sa $1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3x .$ Ovaj izraz je različit od nule na domenu jednačine.

3 \frac{\operatorname{tg} 3x - \operatorname{tg} 2x}{1 + \operatorname{tg} 3x \operatorname{tg} 2x} = \operatorname{tg} 2x

Na levoj strani prepoznajemo adicionu formulu za tangens razlike uglova: $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} .$

3 \operatorname{tg}(3x - 2x) = \operatorname{tg} 2x \implies 3 \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} 2x

Primenjujemo formulu za tangens dvostrukog ugla $\operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} .$

3 \operatorname{tg} x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x}

Množimo jednačinu sa $1 - \operatorname{tg}^2 x$ (uz uslov $\operatorname{tg}^2 x \neq 1 ,$ što je već obuhvaćeno domenom) i prebacujemo sve članove na jednu stranu.

3 \operatorname{tg} x (1 - \operatorname{tg}^2 x) - 2 \operatorname{tg} x = 0

Sređujemo izraz i izdvajamo $\operatorname{tg} x$ kao zajednički faktor.

\operatorname{tg} x (3 - 3 \operatorname{tg}^2 x - 2) = 0 \implies \operatorname{tg} x (1 - 3 \operatorname{tg}^2 x) = 0

Jednačina se svodi na dva slučaja. Prvi slučaj je kada je prvi faktor jednak nuli.

\operatorname{tg} x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Drugi slučaj je kada je drugi faktor jednak nuli.

1 - 3 \operatorname{tg}^2 x = 0 \implies \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{3} \implies \operatorname{tg} x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

Rešavamo drugi slučaj po $x .$

x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Proveravamo dobijena rešenja u odnosu na domen. Rešenja $x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi$ se poklapaju sa zabranjenim vrednostima $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} ,$ pa za njih $\operatorname{tg} 3x$ nije definisan. Zbog toga ih odbacujemo. Jedino validno rešenje je:

x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

915