3860. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Koristeći formule za zbir i razliku kubova rastaviti na činioce sledeći polinom: $(3x - 2y)^3 - (2x + 3y)^3 .$

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formulu za razliku kubova: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) .$ U ovom slučaju identifikujemo članove:

a = 3x - 2y, \quad b = 2x + 3y

Prvi činilac dobijamo oduzimanjem drugog izraza od prvog:

a - b = (3x - 2y) - (2x + 3y) = 3x - 2y - 2x - 3y = x - 5y

Drugi činilac dobijamo računanjem izraza $a^2 + ab + b^2 :$

(3x - 2y)^2 + (3x - 2y)(2x + 3y) + (2x + 3y)^2

Kvadriramo binome i množimo zagrade unutar drugog činioca:

(9x^2 - 12xy + 4y^2) + (6x^2 + 9xy - 4xy - 6y^2) + (4x^2 + 12xy + 9y^2)

Sređujemo izraz unutar druge zagrade sabiranjem sličnih članova:

(9x^2 + 6x^2 + 4x^2) + (-12xy + 9xy - 4xy + 12xy) + (4y^2 - 6y^2 + 9y^2) = 19x^2 + 5xy + 7y^2

Spajamo oba činioca u konačan rezultat:

(x - 5y)(19x^2 + 5xy + 7y^2)

587.p