5133. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicija: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je parna ako je skup $A$ simetričan u odnosu na $0$ (iz $x\in A$ sledi $-x\in A$ ) i ako za svako $x\in A$ važi $f(-x)=f(x) .$ Neparna je ako je $A$ simetričan u odnosu na $0$ i za svako $x\in A$ važi $f(-x)=-f(x) .$ Ako oblast definisanosti nije simetrična, funkcija ne može biti ni parna ni neparna.

Imenioci ne smeju biti nula. Rastavljamo ih izvlačenjem $x :$ $x^2+x=x(x+1)$ i $x^2-x=x(x-1) .$ Oni su nula za $x=0 ,$ $x=-1$ i $x=1 ,$ pa je oblast definisanosti:

D=\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}

Izbačene tačke su raspoređene simetrično oko nule, pa je $D$ simetričan skup i prvi uslov definicije važi za svako $a .$ Računamo $f(-x) :$ zamenom $x$ sa $-x$ imenilac $x^2+x$ postaje $x^2-x ,$ i obrnuto:

f(-x)=\frac{-5x-1}{x^2-x}-a\cdot\frac{-5x+1}{x^2+x}=-\frac{5x+1}{x^2-x}+a\cdot\frac{5x-1}{x^2+x}

Funkcija je neparna ako je $f(-x)=-f(x) ,$ tj. $f(x)+f(-x)=0$ za svako $x\in D .$ Računamo zbir i grupišemo sabirke sa istim razlomkom:

f(x)+f(-x)=\frac{5x-1}{x^2+x}-a\frac{5x+1}{x^2-x}-\frac{5x+1}{x^2-x}+a\frac{5x-1}{x^2+x}=(1+a)\left(\frac{5x-1}{x(x+1)}-\frac{5x+1}{x(x-1)}\right)

Razlomke u zagradi svodimo na zajednički imenilac i množimo zagrade; članovi $5x^2$ i $1$ se potiru:

\frac{(5x-1)(x-1)-(5x+1)(x+1)}{x(x^2-1)}=\frac{(5x^2-6x+1)-(5x^2+6x+1)}{x(x^2-1)}=\frac{-12x}{x(x^2-1)}=\frac{-12}{x^2-1}

Izraz $\frac{-12}{x^2-1}$ nikad nije nula (brojilac je $-12$ ). Zato je $f(x)+f(-x)=0$ za svako $x$ samo ako je $1+a=0 .$

Funkcija je neparna za $a=-1 .$

Započni učenje

Online časovi

102.b

Beleške