5079. Svojstva realnih funkcija

Argument logaritma mora biti pozitivan, a razlomak je pozitivan kada su brojilac i imenilac istog znaka. Oba pozitivna: $x<1$ i $x>-1 .$ Oba negativna: $x>1$ i $x<-1$ istovremeno, što je nemoguće. Dakle:

D=(-1,1)

Podsetimo se definicija: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je parna ako je skup $A$ simetričan u odnosu na $0$ (iz $x\in A$ sledi $-x\in A$ ) i ako za svako $x\in A$ važi $f(-x)=f(x) .$ Neparna je ako je $A$ simetričan u odnosu na $0$ i za svako $x\in A$ važi $f(-x)=-f(x) .$ Ako oblast definisanosti nije simetrična, funkcija ne može biti ni parna ni neparna.

Interval $(-1,1)$ je simetričan u odnosu na $0 .$ Računamo $f(-x) :$ brojilac i imenilac zamene mesta, pa dobijamo logaritam recipročne vrednosti, a on je suprotan broj ( $\log_2\frac1u=-\log_2u$ ):

f(-x)=\log_2\frac{1+x}{1-x}=-\log_2\frac{1-x}{1+x}=-f(x)

Funkcija je neparna. Na primer, $f\left(\frac13\right)=\log_2\frac{2/3}{4/3}=\log_2\frac12=-1 ,$ a $f\left(-\frac13\right)=\log_22=1 .$

Podsetimo se: nula funkcije $f:A\to\mathbb{R}$ je svaki realan broj $x_0\in A$ za koji je $f(x_0)=0 .$ To su apscise tačaka u kojima grafik seče $x$ -osu. Ispitati znak znači utvrditi za koje $x$ je $f(x)>0$ (grafik iznad $x$ -ose), a za koje $f(x)<0$ (grafik ispod $x$ -ose).

Logaritam je nula kada je argument jednak $1 :$

\frac{1-x}{1+x}=1 \iff 1-x=1+x \iff x=0

Logaritam sa osnovom većom od $1$ je pozitivan kada mu je argument veći od $1 ,$ a negativan kada je argument između $0$ i $1$ (npr. $\log_24=2>0 ,$ a $\log_2\frac12=-1<0$ ). Na $D$ je $1+x>0 ,$ pa nejednakost smemo pomnožiti imeniocem bez promene znaka:

\frac{1-x}{1+x}>1 \iff 1-x>1+x \iff x<0

Odgovor: oblast definisanosti je $(-1,1)$ ; funkcija je neparna; nula je $x=0$ ; $f(x)>0$ za $x\in(-1,0) ,$ a $f(x)<0$ za $x\in(0,1) .$

Započni učenje

Online časovi

90.g

Beleške