Dokaz identiteta sa zbirom dva dvojna razlomka

Započinjemo dokaz transformacijom leve strane jednakosti. Svodimo razlomke na zajednički imenilac.

\frac{(1 - x^{-\frac{1}{2}})^2 + (1 + x^{-\frac{1}{2}})^2}{(1 + x^{-\frac{1}{2}})(1 - x^{-\frac{1}{2}})}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata u imeniocu, a u brojiocu kvadriramo binome.

\frac{(1 - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1}) + (1 + 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1})}{1 - (x^{-\frac{1}{2}})^2}

Podsećanje na formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata koje su primenjene u prethodnom koraku:

(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2, \quad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Sređujemo izraz u brojiocu tako što sabiramo odgovarajuće članove. Članovi $-2x^{-\frac{1}{2}}$ i $2x^{-\frac{1}{2}}$ se potiru, a u imeniocu množimo izložioce.

\frac{1 - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1} + 1 + 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1}}{1 - x^{-1}} = \frac{2 + 2x^{-1}}{1 - x^{-1}}

Izdvajamo broj 2 kao zajednički činilac u brojiocu.

2 \frac{1 + x^{-1}}{1 - x^{-1}}

Dobijeni izraz je tačno jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet uspešno dokazan.

\frac{1 - x^{-\frac{1}{2}}}{1 + x^{-\frac{1}{2}}} + \frac{1 + x^{-\frac{1}{2}}}{1 - x^{-\frac{1}{2}}} = 2 \frac{1 + x^{-1}}{1 - x^{-1}}

Započni učenje

Online časovi

63.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci