3207. Relacije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

U skupu $\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ definisana je relacija $x \rho y \Leftrightarrow |x| = |y| .$ Dokazati da je $\rho$ relacija ekvivalencije i odrediti klase.

REŠENJE ZADATKA

Pre nego što počnemo sa dokazivanjem, definisaćemo apsolutnu vrednost broja $x :$

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Da bi relacija bila relacija ekvivalencije, mora ispunjavati tri svojstva: refleksivnost, simetričnost i tranzitivnost.

1. Refleksivnost: Za svako $x \in A$ važi da je broj jednak samom sebi, pa je i njegova apsolutna vrednost jednaka samoj sebi.

(\forall x \in A) \quad |x| = |x| \implies x \rho x

2. Simetričnost: Za svako $x, y \in A ,$ ako je $x \rho y ,$ to znači da je $|x| = |y| .$ Zbog simetričnosti jednakosti, važi i $|y| = |x| ,$ što znači da je $y \rho x .$

(\forall x, y \in A) \quad x \rho y \implies |x| = |y| \implies |y| = |x| \implies y \rho x

3. Tranzitivnost: Za svako $x, y, z \in A ,$ ako je $x \rho y$ i $y \rho z ,$ to znači da je $|x| = |y|$ i $|y| = |z| .$ Iz ove dve jednakosti sledi da je $|x| = |z| ,$ odnosno $x \rho z .$

(\forall x, y, z \in A) \quad (x \rho y \land y \rho z) \implies (|x| = |y| \land |y| = |z|) \implies |x| = |z| \implies x \rho z

Pošto su ispunjena sva tri svojstva, dokazali smo da je $\rho$ relacija ekvivalencije. Sada određujemo klase ekvivalencije. Klasa ekvivalencije elementa $x$ sadrži sve elemente $y \in A$ za koje važi $y \rho x ,$ odnosno $|y| = |x| .$

C_x = \{ y \in A \mid |y| = |x| \}

Računamo klase za svaki element skupa $A :$

\begin{aligned} C_0 &= \{0\} \\ C_1 = C_{-1} &= \{-1, 1\} \\ C_2 = C_{-2} &= \{-2, 2\} \\ C_3 = C_{-3} &= \{-3, 3\} \\ C_4 = C_{-4} &= \{-4, 4\} \\ C_5 = C_{-5} &= \{-5, 5\} \end{aligned}

Količnički skup (skup svih klasa ekvivalencije) je:

A / \rho = \big\{ \{0\}, \{-1, 1\}, \{-2, 2\}, \{-3, 3\}, \{-4, 4\}, \{-5, 5\} \big\}

77