TEKST ZADATKA
U skupu {0,1,2,3,4} definisana je relacija xρy⇔y=x−1. Odrediti elemente relacije ρ, nacrtati njen graf i tablicu. Koja od svojstava refleksivnost, simetrija, tranzitivnost ima relacija ρ?
REŠENJE ZADATKA
Dati skup je A={0,1,2,3,4}. Relacija ρ je definisana uslovom y=x−1. Da bismo odredili elemente relacije, proveravamo za svako x∈A da li odgovarajuće y pripada skupu A.
Računamo vrednosti za svako x:
x=0x=1x=2x=3x=4⟹y=0−1=−1∈/A⟹y=1−1=0∈A⟹(1,0)∈ρ⟹y=2−1=1∈A⟹(2,1)∈ρ⟹y=3−1=2∈A⟹(3,2)∈ρ⟹y=4−1=3∈A⟹(4,3)∈ρ Zapisujemo relaciju ρ kao skup uređenih parova:
ρ={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)} Graf relacije se sastoji od čvorova koji predstavljaju elemente skupa A i usmerenih grana (strelica) od čvora x do čvora y ako i samo ako (x,y)∈ρ. Grane grafa su:
1→0,2→1,3→2,4→3 Tablica (matrica) relacije se formira tako što se u presek x-te vrste i y-te kolone upisuje 1 ako (x,y)∈ρ, a 0 inače:
ρ01234001000100100200010300001400000 Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako x∈A važi (x,x)∈ρ. Pošto, na primer, (0,0)∈/ρ, relacija nije refleksivna.
Ispitujemo simetriju. Relacija je simetrična ako iz (x,y)∈ρ sledi (y,x)∈ρ. Imamo da (1,0)∈ρ, ali (0,1)∈/ρ. Dakle, relacija nije simetrična.
Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako iz (x,y)∈ρ i (y,z)∈ρ sledi (x,z)∈ρ. Imamo da (2,1)∈ρ i (1,0)∈ρ, ali (2,0)∈/ρ. Dakle, relacija nije tranzitivna.
Zaključujemo da relacija ρ ne poseduje nijedno od navedenih svojstava (nije ni refleksivna, ni simetrična, ni tranzitivna).