Relacija y = x − 1 na skupu od 0 do 4

Dati skup je $A = \{0, 1, 2, 3, 4\} .$ Relacija $\rho$ je definisana uslovom $y = x - 1 .$ Da bismo odredili elemente relacije, proveravamo za svako $x \in A$ da li odgovarajuće $y$ pripada skupu $A .$

Računamo vrednosti za svako $x :$

\begin{aligned} x = 0 &\implies y = 0 - 1 = -1 \notin A \\ x = 1 &\implies y = 1 - 1 = 0 \in A \implies (1, 0) \in \rho \\ x = 2 &\implies y = 2 - 1 = 1 \in A \implies (2, 1) \in \rho \\ x = 3 &\implies y = 3 - 1 = 2 \in A \implies (3, 2) \in \rho \\ x = 4 &\implies y = 4 - 1 = 3 \in A \implies (4, 3) \in \rho \end{aligned}

Zapisujemo relaciju $\rho$ kao skup uređenih parova:

\rho = \{(1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3)\}

Graf relacije se sastoji od čvorova koji predstavljaju elemente skupa $A$ i usmerenih grana (strelica) od čvora $x$ do čvora $y$ ako i samo ako $(x, y) \in \rho .$ Grane grafa su:

1 \to 0, \quad 2 \to 1, \quad 3 \to 2, \quad 4 \to 3

Tablica (matrica) relacije se formira tako što se u presek $x$ -te vrste i $y$ -te kolone upisuje $1$ ako $(x, y) \in \rho ,$ a $0$ inače:

\begin{array}{c|ccccc} \rho & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako $x \in A$ važi $(x, x) \in \rho .$ Pošto, na primer, $(0, 0) \notin \rho ,$ relacija nije refleksivna.

Ispitujemo simetriju. Relacija je simetrična ako iz $(x, y) \in \rho$ sledi $(y, x) \in \rho .$ Imamo da $(1, 0) \in \rho ,$ ali $(0, 1) \notin \rho .$ Dakle, relacija nije simetrična.

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako iz $(x, y) \in \rho$ i $(y, z) \in \rho$ sledi $(x, z) \in \rho .$ Imamo da $(2, 1) \in \rho$ i $(1, 0) \in \rho ,$ ali $(2, 0) \notin \rho .$ Dakle, relacija nije tranzitivna.

Zaključujemo da relacija $\rho$ ne poseduje nijedno od navedenih svojstava (nije ni refleksivna, ni simetrična, ni tranzitivna).

Započni učenje

Online časovi

70

Beleške