3186.

70

TEKST ZADATKA

U skupu {0,1,2,3,4} \{0, 1, 2, 3, 4\} definisana je relacija xρy⇔y=x−1. x \rho y \Leftrightarrow y = x - 1 . Odrediti elemente relacije ρ, \rho , nacrtati njen graf i tablicu. Koja od svojstava refleksivnost, simetrija, tranzitivnost ima relacija ρ? \rho ?

REŠENJE ZADATKA

Dati skup je A={0,1,2,3,4}. A = \{0, 1, 2, 3, 4\} . Relacija ρ \rho je definisana uslovom y=x−1. y = x - 1 . Da bismo odredili elemente relacije, proveravamo za svako x∈A x \in A da li odgovarajuće y y pripada skupu A. A .

Računamo vrednosti za svako x: x :

x=0  ⟹  y=0−1=−1∉Ax=1  ⟹  y=1−1=0∈A  ⟹  (1,0)∈ρx=2  ⟹  y=2−1=1∈A  ⟹  (2,1)∈ρx=3  ⟹  y=3−1=2∈A  ⟹  (3,2)∈ρx=4  ⟹  y=4−1=3∈A  ⟹  (4,3)∈ρ\begin{aligned} x = 0 &\implies y = 0 - 1 = -1 \notin A \\ x = 1 &\implies y = 1 - 1 = 0 \in A \implies (1, 0) \in \rho \\ x = 2 &\implies y = 2 - 1 = 1 \in A \implies (2, 1) \in \rho \\ x = 3 &\implies y = 3 - 1 = 2 \in A \implies (3, 2) \in \rho \\ x = 4 &\implies y = 4 - 1 = 3 \in A \implies (4, 3) \in \rho \end{aligned}

Zapisujemo relaciju ρ \rho kao skup uređenih parova:

ρ={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)}\rho = \{(1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3)\}

Graf relacije se sastoji od čvorova koji predstavljaju elemente skupa A A i usmerenih grana (strelica) od čvora x x do čvora y y ako i samo ako (x,y)∈ρ. (x, y) \in \rho . Grane grafa su:

1→0,2→1,3→2,4→31 \to 0, \quad 2 \to 1, \quad 3 \to 2, \quad 4 \to 3

Tablica (matrica) relacije se formira tako što se u presek x x -te vrste i y y -te kolone upisuje 1 1 ako (x,y)∈ρ, (x, y) \in \rho , a 0 0 inače:

ρ01234000000110000201000300100400010\begin{array}{c|ccccc} \rho & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako x∈A x \in A važi (x,x)∈ρ. (x, x) \in \rho . Pošto, na primer, (0,0)∉ρ, (0, 0) \notin \rho , relacija nije refleksivna.

Ispitujemo simetriju. Relacija je simetrična ako iz (x,y)∈ρ (x, y) \in \rho sledi (y,x)∈ρ. (y, x) \in \rho . Imamo da (1,0)∈ρ, (1, 0) \in \rho , ali (0,1)∉ρ. (0, 1) \notin \rho . Dakle, relacija nije simetrična.

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako iz (x,y)∈ρ (x, y) \in \rho i (y,z)∈ρ (y, z) \in \rho sledi (x,z)∈ρ. (x, z) \in \rho . Imamo da (2,1)∈ρ (2, 1) \in \rho i (1,0)∈ρ, (1, 0) \in \rho , ali (2,0)∉ρ. (2, 0) \notin \rho . Dakle, relacija nije tranzitivna.

Zaključujemo da relacija ρ \rho ne poseduje nijedno od navedenih svojstava (nije ni refleksivna, ni simetrična, ni tranzitivna).