3667. Račun podele i mešanja

TEKST ZADATKA

Potrebno je da se napravi mešavina tri vrste istog proizvoda po cenama od $800$ dinara po kilogramu, $700$ dinara po kilogramu i $600$ dinara po kilogramu, da bi se dobila mešavina od $300$ kilograma koja će se prodavati po ceni od $750$ dinara po kilogramu. Kako treba pomešati ove tri vrste proizvoda (odrediti bar jedno rešenje)?

REŠENJE ZADATKA

Neka su $x ,$ $y$ i $z$ količine (u kilogramima) prve, druge i treće vrste proizvoda redom. Ukupna količina mešavine je $300 \text{ kg} ,$ pa važi:

x + y + z = 300

Ukupna cena mešavine mora biti jednaka zbiru cena pojedinačnih proizvoda. Cena mešavine je $300 \cdot 750$ dinara.

800x + 700y + 600z = 300 \cdot 750

Pojednostavljujemo drugu jednačinu deljenjem sa $100$ i računamo proizvod na desnoj strani:

8x + 7y + 6z = 2250

Iz prve jednačine izražavamo $z$ i zamenjujemo u drugu jednačinu:

\begin{aligned} z &= 300 - x - y \\ 8x + 7y + 6(300 - x - y) &= 2250 \end{aligned}

Sređujemo dobijenu jednačinu:

\begin{aligned} 8x + 7y + 1800 - 6x - 6y &= 2250 \\ 2x + y &= 450 \end{aligned}

Izražavamo $y$ preko $x :$

y = 450 - 2x

Sada izražavamo i $z$ preko $x$ zamenom $y$ u izraz za $z :$

\begin{aligned} z &= 300 - x - (450 - 2x) \\ z &= 300 - x - 450 + 2x \\ z &= x - 150 \end{aligned}

Pošto količine proizvoda moraju biti strogo veće od nule (jer mešamo sve tri vrste), postavljamo uslove $x > 0 ,$ $y > 0$ i $z > 0 :$

\begin{aligned} 450 - 2x &> 0 \Rightarrow x < 225 \\ x - 150 &> 0 \Rightarrow x > 150 \end{aligned}

Dakle, $x$ može biti bilo koji broj takav da je $150 < x < 225 .$ Pošto se traži bar jedno rešenje, možemo izabrati proizvoljnu vrednost za $x$ iz ovog intervala, na primer $x = 200 :$

x = 200

Za izabrano $x = 200 ,$ računamo vrednosti za $y$ i $z :$

\begin{aligned} y &= 450 - 2 \cdot 200 = 450 - 400 = 50 \\ z &= 200 - 150 = 50 \end{aligned}

Jedno od mogućih rešenja je da se pomeša $200 \text{ kg}$ prve, $50 \text{ kg}$ druge i $50 \text{ kg}$ treće vrste proizvoda.

(x, y, z) = (200, 50, 50)

286