3682. Procentni račun | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Neka je povećanjem cena nekog proizvoda za $x$ procenata, pa smanjenjem nove cene za $y$ procenata dobijena početna cena tog proizvoda. Izraziti $y$ u funkciji od $x .$

REŠENJE ZADATKA

Neka je početna cena proizvoda $C .$

Nakon povećanja cene za $x$ procenata, nova cena $C_1$ iznosi:

C_1 = C + C \cdot \frac{x}{100} = C \left(1 + \frac{x}{100}\right)

Nakon smanjenja nove cene $C_1$ za $y$ procenata, dobijamo konačnu cenu $C_2 :$

C_2 = C_1 - C_1 \cdot \frac{y}{100} = C_1 \left(1 - \frac{y}{100}\right)

Zamenom izraza za $C_1$ u jednačinu za $C_2 ,$ dobijamo:

C_2 = C \left(1 + \frac{x}{100}\right) \left(1 - \frac{y}{100}\right)

Prema uslovu zadatka, konačna cena je jednaka početnoj ceni, odnosno $C_2 = C .$

C \left(1 + \frac{x}{100}\right) \left(1 - \frac{y}{100}\right) = C

Pošto je cena proizvoda $C \neq 0 ,$ možemo podeliti obe strane jednačine sa $C :$

\left(1 + \frac{x}{100}\right) \left(1 - \frac{y}{100}\right) = 1

Izražavamo izraz sa $y$ preko izraza sa $x :$

1 - \frac{y}{100} = \frac{1}{1 + \frac{x}{100}}

Sređujemo imenilac na desnoj strani:

1 - \frac{y}{100} = \frac{1}{\frac{100 + x}{100}}

Rešavamo dvojni razlomak:

1 - \frac{y}{100} = \frac{100}{100 + x}

Prebacujemo nepoznate na jednu, a poznate na drugu stranu:

\frac{y}{100} = 1 - \frac{100}{100 + x}

Svodeći na zajednički imenilac, dobijamo:

\frac{y}{100} = \frac{100 + x - 100}{100 + x}

Sređujemo brojilac:

\frac{y}{100} = \frac{x}{100 + x}

Množenjem obe strane sa 100, konačno izražavamo $y$ u funkciji od $x :$

y = \frac{100x}{100 + x}

307