6223. Primena određenih integrala

Figura je između osa i luka, za $0\le y\le1$ ; luk je $x=\arccos y .$ Pri rotaciji oko ose $Oy$ uloge promenljivih se zamenjuju: ako je figura između ose $Oy$ i krive $x=g(y) ,$ $c\le y\le d ,$ onda je $V=\pi\int_c^dg^2(y)\,dy .$

V=\pi\int_0^1(\arccos y)^2\,dy

Smena $y=\cos t ,$ $dy=-\sin t\,dt$ ; granice: $y=0\Rightarrow t=\frac\pi2 ,$ $y=1\Rightarrow t=0 :$

V=\pi\int_{\pi/2}^0t^2(-\sin t)\,dt=\pi\int_0^{\pi/2}t^2\sin t\,dt

Parcijalnom integracijom ( $u=t^2 ,$ $v=-\cos t ,$ pa zadatak 334.b):

\int_0^{\pi/2}t^2\sin t\,dt=\left.-t^2\cos t\right|_0^{\pi/2}+2\int_0^{\pi/2}t\cos t\,dt=0+2\left.(t\sin t+\cos t)\right|_0^{\pi/2}=2\left(\frac\pi2-1\right)=\pi-2

Prema tome, $V=\pi(\pi-2)\approx3{,}586 .$

Započni učenje

Privatni časovi

363.e

Beleške