177

Brzinu računamo po definiciji iz gradiva: brzina kretanja materijalne tačke koja se kreće po pravoj po zakonu $x=f(t)$ u trenutku $t_0$ je $v_0=\lim_{\Delta t\to0}\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t} .$ Ovde je $s(t)=a\sin\omega t ,$ pa za proizvoljan trenutak $t :$

Razliku sinusa pretvaramo u proizvod formulom $\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} ,$ sa $\alpha=\omega t+\omega\Delta t$ i $\beta=\omega t :$

Pretpostavimo $\omega\neq0$ (za $\omega=0$ je $s=0$ i tačka miruje). Da bismo dobili oblik $\frac{\sin u}{u} ,$ imenilac $\Delta t$ zapisujemo kao $\frac{2}{\omega}\cdot\frac{\omega\Delta t}{2} :$

Koristimo poznatu graničnu vrednost $\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1 .$ Brojevima: za $u=0{,}1$ je $\frac{\sin u}{u}\approx0{,}99833 ,$ za $u=0{,}01$ je $\approx0{,}9999833 .$ Ovde je $u=\frac{\omega\Delta t}{2} ,$ a ono teži nuli kada $\Delta t\to0 :$

Granična vrednost proizvoda jednaka je proizvodu graničnih vrednosti: