2726.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Odrediti ekstremne vrednosti funkcije f(x)=sin⁡x−cos⁡x. f(x) = \sin x - \cos x .

f(x)=sin⁡x−cos⁡xf(x) = \sin x - \cos x
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u pronalaženju ekstremnih vrednosti je određivanje prvog izvoda funkcije.

f′(x)=(sin⁡x−cos⁡x)′=cos⁡x−(−sin⁡x)=cos⁡x+sin⁡xf'(x) = (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x

Stacionarne tačke nalazimo rešavanjem jednačine f′(x)=0. f'(x) = 0 .

cos⁡x+sin⁡x=0\cos x + \sin x = 0

Deljenjem jednačine sa cos⁡x \cos x (uz uslov cos⁡x≠0 \cos x \neq 0 ), dobijamo trigonometrijsku jednačinu po tangensu.

1+tan⁡x=0  ⟹  tan⁡x=−11 + \tan x = 0 \implies \tan x = -1

Rešenja jednačine su stacionarne tačke.

x=−π4+kπ,k∈Zx = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Da bismo odredili prirodu ekstremnih vrednosti, računamo drugi izvod funkcije.

f′′(x)=(cos⁡x+sin⁡x)′=−sin⁡x+cos⁡xf''(x) = (\cos x + \sin x)' = -\sin x + \cos x

Ispitujemo znak drugog izvoda u stacionarnim tačkama za jedan period x∈[0,2π]. x \in [0, 2\pi] . Tačke su x1=3π4 x_1 = \frac{3\pi}{4} i x2=7π4. x_2 = \frac{7\pi}{4} .

f′′(3π4)=−sin⁡3π4+cos⁡3π4=−22−22=−2<0f′′(7π4)=−sin⁡7π4+cos⁡7π4=−(−22)+22=2>0\begin{aligned} f''\left(\frac{3\pi}{4}\right) &= -\sin\frac{3\pi}{4} + \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} < 0 \\ f''\left(\frac{7\pi}{4}\right) &= -\sin\frac{7\pi}{4} + \cos\frac{7\pi}{4} = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} > 0 \end{aligned}

Na osnovu znaka drugog izvoda, zaključujemo da funkcija ima maksimum u x=3π4+2kπ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi i minimum u x=7π4+2kπ. x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi . Računamo vrednosti funkcije u tim tačkama.

fmax=f(3π4)=sin⁡3π4−cos⁡3π4=22−(−22)=2fmin=f(7π4)=sin⁡7π4−cos⁡7π4=−22−22=−2\begin{aligned} f_{max} &= f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\frac{3\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} \\ f_{min} &= f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \sin\frac{7\pi}{4} - \cos\frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \end{aligned}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti