Ekstremne vrednosti: sin x − cos x

Prvi korak u pronalaženju ekstremnih vrednosti je određivanje prvog izvoda funkcije.

f'(x) = (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x

Stacionarne tačke nalazimo rešavanjem jednačine $f'(x) = 0 .$

\cos x + \sin x = 0

Deljenjem jednačine sa $\cos x$ (uz uslov $\cos x \neq 0$ ), dobijamo trigonometrijsku jednačinu po tangensu.

1 + \tan x = 0 \implies \tan x = -1

Rešenja jednačine su stacionarne tačke.

x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Da bismo odredili prirodu ekstremnih vrednosti, računamo drugi izvod funkcije.

f''(x) = (\cos x + \sin x)' = -\sin x + \cos x

Ispitujemo znak drugog izvoda u stacionarnim tačkama za jedan period $x \in [0, 2\pi] .$ Tačke su $x_1 = \frac{3\pi}{4}$ i $x_2 = \frac{7\pi}{4} .$

\begin{aligned} f''\left(\frac{3\pi}{4}\right) &= -\sin\frac{3\pi}{4} + \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} < 0 \\ f''\left(\frac{7\pi}{4}\right) &= -\sin\frac{7\pi}{4} + \cos\frac{7\pi}{4} = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} > 0 \end{aligned}

Na osnovu znaka drugog izvoda, zaključujemo da funkcija ima maksimum u $x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ i minimum u $x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi .$ Računamo vrednosti funkcije u tim tačkama.

\begin{aligned} f_{max} &= f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\frac{3\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} \\ f_{min} &= f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \sin\frac{7\pi}{4} - \cos\frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \end{aligned}

Započni učenje

Online časovi

834.b

Beleške