4266.

648.b

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i odredi uslove pod kojima je definisan:

(3x2+3x+31−x2:x4−xx3+1−31−x):3x−x2\left( \frac{3x^2 + 3x + 3}{1 - x^2} : \frac{x^4 - x}{x^3 + 1} - \frac{3}{1 - x} \right) : \frac{3}{x - x^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati sve polinome u imeniocima i brojiocima kako bismo odredili uslove definisanosti i olakšali skraćivanje.

3x2+3x+3=3(x2+x+1)1−x2=(1−x)(1+x)x4−x=x(x3−1)=x(x−1)(x2+x+1)x3+1=(x+1)(x2−x+1)x−x2=x(1−x)\begin{aligned} 3x^2 + 3x + 3 &= 3(x^2 + x + 1) \\ 1 - x^2 &= (1 - x)(1 + x) \\ x^4 - x &= x(x^3 - 1) = x(x - 1)(x^2 + x + 1) \\ x^3 + 1 &= (x + 1)(x^2 - x + 1) \\ x - x^2 &= x(1 - x) \end{aligned}

Izraz je definisan kada su svi imenioci različiti od nule, kao i izrazi kojima se deli (zbog prelaska u imenilac pri množenju recipročnom vrednošću):

1−x2≠0  ⟹  x≠1,x≠−1x3+1≠0  ⟹  x≠−1x4−x≠0  ⟹  x≠0,x≠11−x≠0  ⟹  x≠1x−x2≠0  ⟹  x≠0,x≠1\begin{aligned} 1 - x^2 &\neq 0 \implies x \neq 1, x \neq -1 \\ x^3 + 1 &\neq 0 \implies x \neq -1 \\ x^4 - x &\neq 0 \implies x \neq 0, x \neq 1 \\ 1 - x &\neq 0 \implies x \neq 1 \\ x - x^2 &\neq 0 \implies x \neq 0, x \neq 1 \end{aligned}

Dakle, uslovi definisanosti su:

x≠0,x≠1,x≠−1x \neq 0, \quad x \neq 1, \quad x \neq -1

Zamenjujemo faktorisane oblike u početni izraz i prelazimo sa deljenja na množenje recipročnom vrednošću:

(3(x2+x+1)(1−x)(1+x)⋅(x+1)(x2−x+1)x(x−1)(x2+x+1)−31−x)⋅x(1−x)3\left( \frac{3(x^2 + x + 1)}{(1 - x)(1 + x)} \cdot \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{3}{1 - x} \right) \cdot \frac{x(1 - x)}{3}

Skraćujemo iste faktore x2+x+1 x^2 + x + 1 i x+1 x + 1 u prvom sabirku unutar zagrade:

(3(x2−x+1)(1−x)x(x−1)−31−x)⋅x(1−x)3\left( \frac{3(x^2 - x + 1)}{(1 - x)x(x - 1)} - \frac{3}{1 - x} \right) \cdot \frac{x(1 - x)}{3}

Zapisujemo sve imenioce preko faktora x−1 x - 1 koristeći svojstvo 1−x=−(x−1): 1 - x = -(x - 1) :

(−3(x2−x+1)x(x−1)2+3x−1)⋅−x(x−1)3\left( \frac{-3(x^2 - x + 1)}{x(x - 1)^2} + \frac{3}{x - 1} \right) \cdot \frac{-x(x - 1)}{3}

Svodićemo izraze u zagradi na zajednički imenilac x(x−1)2. x(x - 1)^2 . Drugi razlomak proširujemo sa x(x−1): x(x - 1) :

−3(x2−x+1)+3x(x−1)x(x−1)2⋅−x(x−1)3\frac{-3(x^2 - x + 1) + 3x(x - 1)}{x(x - 1)^2} \cdot \frac{-x(x - 1)}{3}

Množimo i sređujemo brojilac:

−3x2+3x−3+3x2−3xx(x−1)2⋅−x(x−1)3\frac{-3x^2 + 3x - 3 + 3x^2 - 3x}{x(x - 1)^2} \cdot \frac{-x(x - 1)}{3}

Nakon skraćivanja suprotnih monoma u brojiocu, dobijamo:

−3x(x−1)2⋅−x(x−1)3\frac{-3}{x(x - 1)^2} \cdot \frac{-x(x - 1)}{3}

Množimo preostale razlomke i skraćujemo −3 -3 sa 3, 3 , kao i x(x−1) x(x - 1) sa x(x−1)2: x(x - 1)^2 :

3x(x−1)3x(x−1)2=1x−1\frac{3x(x - 1)}{3x(x - 1)^2} = \frac{1}{x - 1}

Konačan uprošćen izraz je:

1x−1\frac{1}{x - 1}