Izraz sa 3x na 2 + 3x + 3 i 1 − x na 2

Prvo ćemo faktorisati sve polinome u imeniocima i brojiocima kako bismo odredili uslove definisanosti i olakšali skraćivanje.

\begin{aligned} 3x^2 + 3x + 3 &= 3(x^2 + x + 1) \\ 1 - x^2 &= (1 - x)(1 + x) \\ x^4 - x &= x(x^3 - 1) = x(x - 1)(x^2 + x + 1) \\ x^3 + 1 &= (x + 1)(x^2 - x + 1) \\ x - x^2 &= x(1 - x) \end{aligned}

Izraz je definisan kada su svi imenioci različiti od nule, kao i izrazi kojima se deli (zbog prelaska u imenilac pri množenju recipročnom vrednošću):

\begin{aligned} 1 - x^2 &\neq 0 \implies x \neq 1, x \neq -1 \\ x^3 + 1 &\neq 0 \implies x \neq -1 \\ x^4 - x &\neq 0 \implies x \neq 0, x \neq 1 \\ 1 - x &\neq 0 \implies x \neq 1 \\ x - x^2 &\neq 0 \implies x \neq 0, x \neq 1 \end{aligned}

Dakle, uslovi definisanosti su:

x \neq 0, \quad x \neq 1, \quad x \neq -1

Zamenjujemo faktorisane oblike u početni izraz i prelazimo sa deljenja na množenje recipročnom vrednošću:

\left( \frac{3(x^2 + x + 1)}{(1 - x)(1 + x)} \cdot \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{3}{1 - x} \right) \cdot \frac{x(1 - x)}{3}

Skraćujemo iste faktore $x^2 + x + 1$ i $x + 1$ u prvom sabirku unutar zagrade:

\left( \frac{3(x^2 - x + 1)}{(1 - x)x(x - 1)} - \frac{3}{1 - x} \right) \cdot \frac{x(1 - x)}{3}

Zapisujemo sve imenioce preko faktora $x - 1$ koristeći svojstvo $1 - x = -(x - 1) :$

\left( \frac{-3(x^2 - x + 1)}{x(x - 1)^2} + \frac{3}{x - 1} \right) \cdot \frac{-x(x - 1)}{3}

Svodićemo izraze u zagradi na zajednički imenilac $x(x - 1)^2 .$ Drugi razlomak proširujemo sa $x(x - 1) :$

\frac{-3(x^2 - x + 1) + 3x(x - 1)}{x(x - 1)^2} \cdot \frac{-x(x - 1)}{3}

Množimo i sređujemo brojilac:

\frac{-3x^2 + 3x - 3 + 3x^2 - 3x}{x(x - 1)^2} \cdot \frac{-x(x - 1)}{3}

Nakon skraćivanja suprotnih monoma u brojiocu, dobijamo:

\frac{-3}{x(x - 1)^2} \cdot \frac{-x(x - 1)}{3}

Množimo preostale razlomke i skraćujemo $-3$ sa $3 ,$ kao i $x(x - 1)$ sa $x(x - 1)^2 :$

\frac{3x(x - 1)}{3x(x - 1)^2} = \frac{1}{x - 1}

Konačan uprošćen izraz je:

\frac{1}{x - 1}

648.b