6170. Određeni integrali

Smena kod određenog integrala: ako je $x=\varphi(t) ,$ $a=\varphi(\alpha)$ i $b=\varphi(\beta) ,$ onda je $\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt .$ Granice se menjaju zajedno sa promenljivom, pa se na kraju ne vraćamo na $x .$ Uvodimo $t=\ln x ,$ $dt=\frac{dx}{x}$ ; granice $\ln2$ i $\ln a :$

I(a)=\int_{\ln2}^{\ln a}t^{-2}\,dt=\left.\left(-\frac1t\right)\right|_{\ln2}^{\ln a}=\frac1{\ln2}-\frac1{\ln a}

Kada $a\to+\infty ,$ $\ln a\to+\infty ,$ pa $\frac1{\ln a}\to0 :$

\lim_{a\to+\infty}I(a)=\frac1{\ln2}

Dakle, $I(a)=\frac1{\ln2}-\frac1{\ln a}$ i $\lim_{a\to+\infty}I(a)=\frac1{\ln2} .$

Započni učenje

Privatni časovi

353.g

Beleške