6167. Određeni integrali

Smena kod određenog integrala: ako je $x=\varphi(t) ,$ $a=\varphi(\alpha)$ i $b=\varphi(\beta) ,$ onda je $\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt .$ Granice se menjaju zajedno sa promenljivom, pa se na kraju ne vraćamo na $x .$ Uvodimo $t=\operatorname{arctg}x ,$ $dt=\frac{dx}{1+x^2}$ ; granice $0$ i $\operatorname{arctg}a :$

I(a)=\int_0^{\operatorname{arctg}a}t\,dt=\left.\frac{t^2}2\right|_0^{\operatorname{arctg}a}=\frac12\operatorname{arctg}^2a

Pošto $\operatorname{arctg}a\to\frac\pi2 :$

\lim_{a\to+\infty}I(a)=\frac12\cdot\frac{\pi^2}4=\frac{\pi^2}8

Dakle, $I(a)=\frac12\operatorname{arctg}^2a$ i $\lim_{a\to+\infty}I(a)=\frac{\pi^2}8 .$

Započni učenje

Privatni časovi

353.d

Beleške