353.e

Najpre nalazimo primitivnu funkciju $J=\int e^{-x}\sin x\,dx .$ Koristimo metodu parcijalne integracije, $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Sa $u=\sin x ,$ $dv=e^{-x}dx ,$ $v=-e^{-x} :$

Još jednom, sa $u=\cos x ,$ $v=-e^{-x} :$ $\int e^{-x}\cos x\,dx=-e^{-x}\cos x-\int e^{-x}\sin x\,dx=-e^{-x}\cos x-J .$ Dobijamo jednačinu po $J$ (kao u zadatku 337.a):

Njutn-Lajbnicova formula: ako je $f$ neprekidna na $[a,b]$ i $F$ njena primitivna funkcija, onda je $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b .$ Za $x=0 :$ $-\frac12(0+1)=-\frac12 :$

Pošto je $|\sin a+\cos a|\le2 ,$ a $e^{-a}\to0 ,$ proizvod $e^{-a}(\sin a+\cos a)$ teži nuli; npr. za $a=10$ je $e^{-10}\approx0{,}0000454 :$