6135. Određeni integrali

Izvod tangensa je $(\operatorname{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2x}=1+\operatorname{tg}^2x ,$ pa je brojilac upravo izvod od $\operatorname{tg}x .$ Smena kod određenog integrala: ako je $x=\varphi(t) ,$ $a=\varphi(\alpha)$ i $b=\varphi(\beta) ,$ onda je $\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt .$ Granice se menjaju zajedno sa promenljivom, pa se na kraju ne vraćamo na $x .$ Uvodimo $t=\operatorname{tg}x ,$ $dt=(1+\operatorname{tg}^2x)\,dx$ ; granice $\operatorname{tg}\frac\pi4=1 ,$ $\operatorname{tg}\frac\pi3=\sqrt3 :$

\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{1+\operatorname{tg}^2x}{(1+\operatorname{tg}x)^2}\,dx=\int_1^{\sqrt3}\frac{dt}{(1+t)^2}

Njutn-Lajbnicova formula: ako je $f$ neprekidna na $[a,b]$ i $F$ njena primitivna funkcija, onda je $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b .$ Primitivna funkcija od $(1+t)^{-2}$ je $-\frac1{1+t}$ ; racionalizujemo $\frac1{1+\sqrt3}=\frac{\sqrt3-1}{2} :$

\left.-\frac{1}{1+t}\right|_1^{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3-1}2+\frac12=\frac{2-\sqrt3}{2}

Traženi integral je $\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{1+\operatorname{tg}^2x}{(1+\operatorname{tg}x)^2}\,dx=\frac{2-\sqrt3}{2} .$

Započni učenje

Privatni časovi

349.đ

Beleške