Određeni integral: 1 kroz 2x + 1 od 0 do 1

TEKST ZADATKA

Izračunati integral:

\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 1}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu.

t= 2x + 1 \\ \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(2x+1) \\ \frac{dt}{dx} = 2 \\ dx = \frac{1}{2} \ dt

Zameniti izraz $2x+1$ sa $t,$ zameniti $dx$ sa $dt$ i promeniti granice integrala.

\int_{1}^{3}{ \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} \ dt }

Primeniti pravilo za izvlačenje konstante ispred integrala: $\int{a \ f(x) \ dx} = a \int{f(x)\ dx}.$

\frac{1}{2} \cdot \int_{1}^{3}\frac{1}{t}dt

Primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x}}\ dx = \ln{|x|} + C.$

\frac{1}{2} \cdot \ln{|t|} \ \Bigg|_{1}^{3}

Primeniti Njutn-Lajbnicovu formulu: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) .$

\frac{1}{2} \cdot (\ln{|3|} - \ln{|1|)}

Srediti izraz.

\frac{1}{2} \cdot (\ln{3} - 0) = \frac{1}{2} \cdot\ln{3}

Zadatak 39