54.

Zadatak 39

TEKST ZADATKA

Izračunati integral:

∫01dx2x+1\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 1}
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu.

t=2x+1dtdx=ddx(2x+1)dtdx=2dx=12 dtt= 2x + 1 \\ \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(2x+1) \\ \frac{dt}{dx} = 2 \\ dx = \frac{1}{2} \ dt

Zameniti izraz 2x+12x+1 sa t,t, zameniti dxdx sa dtdt i promeniti granice integrala.

∫131t⋅12 dt\int_{1}^{3}{ \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} \ dt }
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti pravilo za izvlačenje konstante ispred integrala: ∫a f(x) dx=a∫f(x) dx.\int{a \ f(x) \ dx} = a \int{f(x)\ dx}.

12⋅∫131tdt\frac{1}{2} \cdot \int_{1}^{3}\frac{1}{t}dt

Primeniti tablični integral: ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C.\int{\frac{1}{x}}\ dx = \ln{|x|} + C.

12⋅ln⁡∣t∣ ∣13\frac{1}{2} \cdot \ln{|t|} \ \Bigg|_{1}^{3}

Primeniti Njutn-Lajbnicovu formulu: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a). \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) .

12⋅(ln⁡∣3∣−ln⁡∣1∣)\frac{1}{2} \cdot (\ln{|3|} - \ln{|1|)}

Srediti izraz.

12⋅(ln⁡3−0)=12⋅ln⁡3\frac{1}{2} \cdot (\ln{3} - 0) = \frac{1}{2} \cdot\ln{3}