Dokaz teoreme o tri normale: BC je normalno na p

Izaberimo tačku $D\in p ,$ različitu od $C .$ Pošto je $AB$ normalna na ravni $\pi ,$ ona je upravna na prave $BC$ i $BD$ te ravni. Zato su trouglovi $ABC$ i $ABD$ pravougli u tački $B .$

B,C,D\in\pi,\quad AB\perp\pi \implies AB\perp BC,\quad AB\perp BD

Po uslovu je $AC\perp p ,$ pa je $AC\perp CD .$ Trougao $ACD$ je zato pravougli u tački $C .$ Pitagorinu teoremu primenjujemo na tri dobijena pravougla trougla.

AC\perp CD,\quad AD^2=AC^2+CD^2,\quad AC^2=AB^2+BC^2,\quad AD^2=AB^2+BD^2

Uvrštavanjem izraza za $AC^2$ i $AD^2$ dobijamo Pitagorinu jednakost za trougao $BCD .$

AB^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2 \implies BD^2=BC^2+CD^2

Po obratu Pitagorine teoreme trougao $BCD$ je pravougli u tački $C ,$ pa je $BC\perp CD .$ Kako prava $CD$ pripada pravoj $p ,$ zaključujemo da je $BC\perp p ,$ što je trebalo dokazati.

BD^2=BC^2+CD^2 \implies BC\perp CD,\quad CD\subset p \implies BC\perp p

Započni učenje

Online časovi

123

Beleške