PrethodniSledeći
4802.

123

TEKST ZADATKA

Neka prava AC AC ne pripada ravni π \pi i nije normalna na njoj, ali je normalna na jednoj pravoj p p te ravni koja sadrži tačku C C i neka je B B podnožje normale iz A A u ravni π. \pi . Dokazati da je BC⊥p. BC\perp p .

REŠENJE ZADATKA

Izaberimo tačku D∈p, D\in p , različitu od C. C . Pošto je AB AB normalna na ravni π, \pi , ona je upravna na prave BC BC i BD BD te ravni. Zato su trouglovi ABC ABC i ABD ABD pravougli u tački B. B .

B,C,D∈π,AB⊥π  ⟹  AB⊥BC,AB⊥BDB,C,D\in\pi,\quad AB\perp\pi \implies AB\perp BC,\quad AB\perp BD

Po uslovu je AC⊥p, AC\perp p , pa je AC⊥CD. AC\perp CD . Trougao ACD ACD je zato pravougli u tački C. C . Pitagorinu teoremu primenjujemo na tri dobijena pravougla trougla.

AC⊥CD,AD2=AC2+CD2,AC2=AB2+BC2,AD2=AB2+BD2AC\perp CD,\quad AD^2=AC^2+CD^2,\quad AC^2=AB^2+BC^2,\quad AD^2=AB^2+BD^2

Uvrštavanjem izraza za AC2 AC^2 i AD2 AD^2 dobijamo Pitagorinu jednakost za trougao BCD. BCD .

AB2+BD2=AB2+BC2+CD2  ⟹  BD2=BC2+CD2AB^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2 \implies BD^2=BC^2+CD^2

Po obratu Pitagorine teoreme trougao BCD BCD je pravougli u tački C, C , pa je BC⊥CD. BC\perp CD . Kako prava CD CD pripada pravoj p, p , zaključujemo da je BC⊥p, BC\perp p , što je trebalo dokazati.

BD2=BC2+CD2  ⟹  BC⊥CD,CD⊂p  ⟹  BC⊥pBD^2=BC^2+CD^2 \implies BC\perp CD,\quad CD\subset p \implies BC\perp p

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu