141.v

Podsetimo se definicija: broj $a$ je leva granična vrednost funkcije $f$ u tački $x_0 ,$ $a=\lim_{x\to x_0-0}f(x) ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x\in D_f$ za koje je $x_0-\delta<x<x_0$ važi $|f(x)-a|<\varepsilon .$ Desna granična vrednost $b=\lim_{x\to x_0+0}f(x)$ definiše se isto, samo za $x_0<x<x_0+\delta .$ Jednostavno rečeno: kod leve granične vrednosti $x$ prilazi tački $x_0$ samo sa leve strane (brojevi manji od $x_0$), a kod desne samo sa desne strane. Koriste se i oznake $x\to x_0^-$ i $x\to x_0^+ .$

Iz gradiva: ako postoje leva i desna granična vrednost u tački $x_0$ i jednake su broju $a ,$ onda postoji i granična vrednost $\lim_{x\to x_0}f(x)=a .$ Funkcija je neprekidna u tački $x_0$ ako je u njoj definisana, ako postoji $\lim_{x\to x_0}f(x)$ i ako je $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) .$ Ako je funkcija definisana u $x_0 ,$ ali nije neprekidna, $x_0$ je tačka prekida. Dakle, za neprekidnost proveravamo tri broja: levu graničnu vrednost, desnu graničnu vrednost i vrednost $f(x_0)$ — sva tri moraju biti jednaka.

Funkcija nije definisana u tački $x_0 .$ „Dodefinisati” je znači zadati joj neku vrednost $f(x_0) .$ Da bi tada bila neprekidna, mora postojati konačna granična vrednost $\lim_{x\to x_0}f(x)=L$ (leva i desna jednake), i tada stavljamo $f(x_0)=L .$ Ako su leva i desna granična vrednost različite ili beskonačne, nijedan izbor vrednosti $f(x_0)$ ne pomaže.

Koren zahteva $x\geq-7 ,$ a imenilac $x^2-4\neq0 ,$ pa funkcija nije definisana u $\pm2 .$ Posmatramo izložilac $g(x)=\frac{\sqrt{7+x}-3}{x^2-4} ,$ jer ako on teži broju $L ,$ onda $e^{g(x)}\to e^L .$

Dakle $\lim_{x\to2}f(x)=e^{\frac1{24}}$ (sa obe strane), pa funkciju možemo dodefinisati: $f(2)=e^{\frac1{24}} .$

Rešenje: u tački $2$ funkciju možemo dodefinisati vrednošću $f(2)=e^{\frac{1}{24}}$; u tački $-2$ to nije moguće, jer leva i desna granična vrednost nisu jednake (desna je beskonačna).