135

Podsetimo se definicija: broj $a$ je leva granična vrednost funkcije $f$ u tački $x_0 ,$ $a=\lim_{x\to x_0-0}f(x) ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x\in D_f$ za koje je $x_0-\delta<x<x_0$ važi $|f(x)-a|<\varepsilon .$ Desna granična vrednost $b=\lim_{x\to x_0+0}f(x)$ definiše se isto, samo za $x_0<x<x_0+\delta .$ Jednostavno rečeno: kod leve granične vrednosti $x$ prilazi tački $x_0$ samo sa leve strane (brojevi manji od $x_0$), a kod desne samo sa desne strane. Koriste se i oznake $x\to x_0^-$ i $x\to x_0^+ .$

Iz gradiva: ako postoje leva i desna granična vrednost u tački $x_0$ i jednake su broju $a ,$ onda postoji i granična vrednost $\lim_{x\to x_0}f(x)=a .$ Funkcija je neprekidna u tački $x_0$ ako je u njoj definisana, ako postoji $\lim_{x\to x_0}f(x)$ i ako je $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) .$ Ako je funkcija definisana u $x_0 ,$ ali nije neprekidna, $x_0$ je tačka prekida. Dakle, za neprekidnost proveravamo tri broja: levu graničnu vrednost, desnu graničnu vrednost i vrednost $f(x_0)$ — sva tri moraju biti jednaka.

Na svakom od intervala $(-\infty,0) ,$ $(0,1)$ i $(1,+\infty)$ funkcija je zadata jednom „lepom” formulom ($2^x ,$ konstanta $1 ,$ $x-1$), koja je neprekidna. Zato prekid može postojati samo u tačkama spajanja $0$ i $1 .$

Sva tri broja su jednaka, pa je funkcija neprekidna u nuli.

Leva i desna granična vrednost se razlikuju, pa u tački $1$ funkcija ima prekid.

Rešenje: $\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0+}f(x)=f(0)=1 ,$ $\lim_{x\to1-}f(x)=1 ,$ $\lim_{x\to1+}f(x)=0 .$ Funkcija je neprekidna u svim tačkama osim u $x=1 ,$ gde ima prekid.