1127. Korenovanje | Balkan Tutor

Racionališemo broj $a$ množenjem brojioca i imenioca sa $\sqrt{11}+\sqrt{2} :$

a = \frac{9}{\sqrt{11}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{11}+\sqrt{2}}{\sqrt{11}+\sqrt{2}}

Primenjujemo razliku kvadrata u imeniocu i skraćujemo razlomak:

a = \frac{9(\sqrt{11}+\sqrt{2})}{11 - 2} = \frac{9(\sqrt{11}+\sqrt{2})}{9} = \sqrt{11} + \sqrt{2}

Zatim racionališemo broj $b$ množenjem brojioca i imenioca sa $3+\sqrt{3} :$

b = \frac{6}{3-\sqrt{3}} \cdot \frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}

Slično kao kod prethodnog broja, primenjujemo razliku kvadrata i skraćujemo razlomak:

b = \frac{6(3+\sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{6(3+\sqrt{3})}{6} = 3 + \sqrt{3}

Pošto su oba broja pozitivna, uporedićemo njihove kvadrate.

a^2 \quad \text{i} \quad b^2

Kvadriramo broj $a$ pomoću formule za kvadrat binoma:

a^2 = (\sqrt{11} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 11 + 2\sqrt{22} + 2 = 13 + 2\sqrt{22}

Kvadriramo broj $b$ na isti način:

b^2 = (3 + \sqrt{3})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 9 + 6\sqrt{3} + 3 = 12 + 6\sqrt{3}

Da bismo lakše uporedili vrednosti, uvodimo faktore pod koren:

a^2 = 13 + \sqrt{4 \cdot 22} = 13 + \sqrt{88} \quad \text{i} \quad b^2 = 12 + \sqrt{36 \cdot 3} = 12 + \sqrt{108}

Pretpostavićemo da je $b^2 > a^2$ i proveriti da li nas ta pretpostavka vodi do tačne nejednakosti:

12 + \sqrt{108} > 13 + \sqrt{88}

Prebacujemo $12$ na desnu stranu kako bi obe strane ostale pozitivne pre novog kvadriranja:

\sqrt{108} > 13 - 12 + \sqrt{88} \implies \sqrt{108} > 1 + \sqrt{88}

Kvadriramo obe strane nejednakosti:

(\sqrt{108})^2 > (1 + \sqrt{88})^2

Razvijamo desnu stranu pomoću kvadrata binoma:

108 > 1 + 2\sqrt{88} + 88

Sređujemo izraz prebacivanjem celih brojeva na levu stranu:

108 - 89 > 2\sqrt{88} \implies 19 > 2\sqrt{88}

Ponovo kvadriramo obe strane da bismo se oslobodili poslednjeg korena:

19^2 > (2\sqrt{88})^2 \implies 361 > 4 \cdot 88

Računamo proizvod na desnoj strani:

361 > 352

Dobili smo tačnu nejednakost, što znači da je naša početna pretpostavka $b^2 > a^2$ tačna. S obzirom na to da su $a$ i $b$ pozitivni brojevi, sledi konačan zaključak da je $a < b :$

a < b

45