1096.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Osloboditi se iracionalnosti u imeniocima sledećih razlomaka, uz uslove a>0,b>0,a>b: a>0, b>0, a>b :

1∘a+ba−b,2∘a−ba+b,3∘23+223−21^{\circ} \frac{\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}, \quad 2^{\circ} \frac{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}{\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}, \quad 3^{\circ} \frac{\sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}}{\sqrt{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}}
REŠENJE ZADATKA

Rešavamo prvi zadatak. Da bismo se oslobodili velikog korena u imeniocu, proširujemo razlomak sa a+b. \sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}} .

a+ba−b⋅a+ba+b\frac{\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}{\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}

Množimo brojioce i imenioce. U brojiocu dobijamo kvadrat izraza pod korenom, a u imeniocu primenjujemo formulu za razliku kvadrata.

(a+b)2(a−b)(a+b)=a+b(a)2−(b)2=a+ba−b\frac{\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}}{\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a-b}}

Da bismo se potpuno oslobodili korena u imeniocu, proširujemo dobijeni razlomak sa a−b. \sqrt{a-b} .

a+ba−b⋅a−ba−b=(a+b)a−ba−b\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a-b}} \cdot \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})\sqrt{a-b}}{a-b}

Rešavamo drugi zadatak. Slično prvom primeru, proširujemo razlomak sa a−b. \sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}} .

a−ba+b⋅a−ba−b\frac{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}{\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}

Primenjujemo iste operacije kao u prethodnom slučaju.

(a−b)2(a+b)(a−b)=a−ba−b\frac{\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}}{\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a-b}}

Ponovo proširujemo razlomak sa a−b \sqrt{a-b} kako bismo racionalisali imenilac do kraja.

a−ba−b⋅a−ba−b=(a−b)a−ba−b\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a-b}} \cdot \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})\sqrt{a-b}}{a-b}

Rešavamo treći zadatak. Proširujemo razlomak izrazom 23+2. \sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{2}} .

23+223−2⋅23+223+2\frac{\sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}}{\sqrt{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}}{\sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}}

Računamo proizvod u brojiocu i imeniocu. U imeniocu se ponovo pojavljuje razlika kvadrata pod velikim korenom.

(23+2)2(23−2)(23+2)=23+2(23)2−(2)2\frac{\sqrt{(2\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}}{\sqrt{(2\sqrt{3}-\sqrt{2})(2\sqrt{3}+\sqrt{2})}} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}}

Sređujemo izraz pod korenom u imeniocu kvadrirajući članove.

23+24⋅3−2=23+212−2=23+210\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{4 \cdot 3 - 2}} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{12 - 2}} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{10}}

Proširujemo izraz sa 10 \sqrt{10} da bismo racionalisali imenilac.

23+210⋅1010=(23+2)1010=230+2010\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{(2\sqrt{3}+\sqrt{2})\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{30}+\sqrt{20}}{10}

Pojednostavljujemo brojilac tako što koren iz 20 zapišemo kao 25 2\sqrt{5} i skratimo razlomak sa 2.

230+2510=2(30+5)10=30+55=5⋅(6+1)5\frac{2\sqrt{30}+2\sqrt{5}}{10} = \frac{2(\sqrt{30}+\sqrt{5})}{10} = \frac{\sqrt{30}+\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5} \cdot (\sqrt{6} + 1)}{5}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti