Racionalisanje imenioca: √(√a − √b) u imeniocu

Rešavamo prvi zadatak. Da bismo se oslobodili velikog korena u imeniocu, proširujemo razlomak sa $\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}} .$

\frac{\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}{\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}

Množimo brojioce i imenioce. U brojiocu dobijamo kvadrat izraza pod korenom, a u imeniocu primenjujemo formulu za razliku kvadrata.

\frac{\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}}{\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a-b}}

Da bismo se potpuno oslobodili korena u imeniocu, proširujemo dobijeni razlomak sa $\sqrt{a-b} .$

\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a-b}} \cdot \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})\sqrt{a-b}}{a-b}

Rešavamo drugi zadatak. Slično prvom primeru, proširujemo razlomak sa $\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}} .$

\frac{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}{\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}

Primenjujemo iste operacije kao u prethodnom slučaju.

\frac{\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}}{\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a-b}}

Ponovo proširujemo razlomak sa $\sqrt{a-b}$ kako bismo racionalisali imenilac do kraja.

\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a-b}} \cdot \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})\sqrt{a-b}}{a-b}

Rešavamo treći zadatak. Proširujemo razlomak izrazom $\sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{2}} .$

\frac{\sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}}{\sqrt{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}}{\sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}}

Računamo proizvod u brojiocu i imeniocu. U imeniocu se ponovo pojavljuje razlika kvadrata pod velikim korenom.

\frac{\sqrt{(2\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}}{\sqrt{(2\sqrt{3}-\sqrt{2})(2\sqrt{3}+\sqrt{2})}} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}}

Sređujemo izraz pod korenom u imeniocu kvadrirajući članove.

\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{4 \cdot 3 - 2}} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{12 - 2}} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{10}}

Proširujemo izraz sa $\sqrt{10}$ da bismo racionalisali imenilac.

\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{(2\sqrt{3}+\sqrt{2})\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{30}+\sqrt{20}}{10}

Pojednostavljujemo brojilac tako što koren iz 20 zapišemo kao $2\sqrt{5}$ i skratimo razlomak sa 2.

\frac{2\sqrt{30}+2\sqrt{5}}{10} = \frac{2(\sqrt{30}+\sqrt{5})}{10} = \frac{\sqrt{30}+\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5} \cdot (\sqrt{6} + 1)}{5}

38.d