Moduo kompleksnog broja: moduo količnika

Za dokaz ćemo iskoristiti osnovnu osobinu modula kompleksnog broja koja ga povezuje sa njegovim konjugovano kompleksnim parom. Kvadrat modula proizvoljnog kompleksnog broja $w$ jednak je:

|w|^2 = w \cdot \bar{w}

Neka je naš kompleksan broj $w = \frac{z_1}{z_2} .$ Primenjujemo navedenu osobinu na ovaj količnik:

\left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2 = \left(\frac{z_1}{z_2}\right) \cdot \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}

Koristimo osobinu konjugovanja kompleksnih brojeva koja kaže da je konjugovani broj količnika jednak količniku konjugovanih brojeva:

\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}

Zamenjujemo ovo u prethodni izraz i množimo razlomke (brojilac sa brojiocem, imenilac sa imeniocem):

\left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2 = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{z}_1}{z_2 \cdot \bar{z}_2}

Ponovo primenjujemo početnu osobinu modula, ali sada u obrnutom smeru. Pošto znamo da je $z_1 \cdot \bar{z}_1 = |z_1|^2$ i $z_2 \cdot \bar{z}_2 = |z_2|^2 ,$ dobijamo:

\left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2 = \frac{|z_1|^2}{|z_2|^2} = \left(\frac{|z_1|}{|z_2|}\right)^2

S obzirom na to da su moduli kompleksnih brojeva uvek nenegativni realni brojevi, možemo korenovati obe strane jednačine. Time dobijamo konačan dokaz:

\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}

Započni učenje

Privatni časovi

103.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci