1575.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Pokazati da je: ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣, \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} , z2≠0. z_2 \neq 0 .

∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣,z2≠0\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, \quad z_2 \neq 0
REŠENJE ZADATKA

Za dokaz ćemo iskoristiti osnovnu osobinu modula kompleksnog broja koja ga povezuje sa njegovim konjugovano kompleksnim parom. Kvadrat modula proizvoljnog kompleksnog broja w w jednak je:

∣w∣2=w⋅wˉ|w|^2 = w \cdot \bar{w}

Neka je naš kompleksan broj w=z1z2. w = \frac{z_1}{z_2} . Primenjujemo navedenu osobinu na ovaj količnik:

∣z1z2∣2=(z1z2)⋅(z1z2)‾\left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2 = \left(\frac{z_1}{z_2}\right) \cdot \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}

Koristimo osobinu konjugovanja kompleksnih brojeva koja kaže da je konjugovani broj količnika jednak količniku konjugovanih brojeva:

(z1z2)‾=zˉ1zˉ2\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}

Zamenjujemo ovo u prethodni izraz i množimo razlomke (brojilac sa brojiocem, imenilac sa imeniocem):

∣z1z2∣2=z1z2⋅zˉ1zˉ2=z1⋅zˉ1z2⋅zˉ2\left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2 = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{z}_1}{z_2 \cdot \bar{z}_2}

Ponovo primenjujemo početnu osobinu modula, ali sada u obrnutom smeru. Pošto znamo da je z1⋅zˉ1=∣z1∣2 z_1 \cdot \bar{z}_1 = |z_1|^2 i z2⋅zˉ2=∣z2∣2, z_2 \cdot \bar{z}_2 = |z_2|^2 , dobijamo:

∣z1z2∣2=∣z1∣2∣z2∣2=(∣z1∣∣z2∣)2\left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2 = \frac{|z_1|^2}{|z_2|^2} = \left(\frac{|z_1|}{|z_2|}\right)^2

S obzirom na to da su moduli kompleksnih brojeva uvek nenegativni realni brojevi, možemo korenovati obe strane jednačine. Time dobijamo konačan dokaz:

∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti