1461.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Pokazati da je moduo proizvoda dva kompleksna broja jednak proizvodu njihovih modula:

∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|
REŠENJE ZADATKA

Definišimo kompleksne brojeve z1 z_1 i z2 z_2 u algebarskom obliku.

z1=a+bi,z2=c+diz_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di

Podsetimo se definicije modula kompleksnog broja z=x+iy. z = x + iy .

∣z∣=x2+y2  ⟹  ∣z∣2=x2+y2|z| = \sqrt{x^2 + y^2} \implies |z|^2 = x^2 + y^2

Računamo proizvod z1⋅z2 z_1 \cdot z_2 množenjem svaki sa svakim i grupisanjem realnog i imaginarnog dela.

z1⋅z2=(ac−bd)+i(ad+bc)z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)

Kvadriramo levu stranu jednakosti koristeći definiciju modula za dobijeni proizvod.

∣z1⋅z2∣2=(ac−bd)2+(ad+bc)2|z_1 \cdot z_2|^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2

Razvijamo kvadrate binoma na desnoj strani.

∣z1⋅z2∣2=(a2c2−2acbd+b2d2)+(a2d2+2adbc+b2c2)|z_1 \cdot z_2|^2 = (a^2c^2 - 2acbd + b^2d^2) + (a^2d^2 + 2adbc + b^2c^2)

Sređivanjem izraza (poništavanjem mešovitih članova) i grupisanjem faktora dobijamo:

∣z1⋅z2∣2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(a2+b2)(c2+d2)|z_1 \cdot z_2|^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)

Primetimo da su faktori na desnoj strani zapravo kvadrati modula polaznih brojeva.

∣z1⋅z2∣2=∣z1∣2⋅∣z2∣2|z_1 \cdot z_2|^2 = |z_1|^2 \cdot |z_2|^2

Korenujemo obe strane jednakosti. Pošto je moduo uvek nenegativan broj, dobijamo traženi identitet.

∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti