Moduo proizvoda dva kompleksna broja: dokaz

Definišimo kompleksne brojeve $z_1$ i $z_2$ u algebarskom obliku.

z_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di

Podsetimo se definicije modula kompleksnog broja $z = x + iy .$

|z| = \sqrt{x^2 + y^2} \implies |z|^2 = x^2 + y^2

Računamo proizvod $z_1 \cdot z_2$ množenjem svaki sa svakim i grupisanjem realnog i imaginarnog dela.

z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)

Kvadriramo levu stranu jednakosti koristeći definiciju modula za dobijeni proizvod.

|z_1 \cdot z_2|^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2

Razvijamo kvadrate binoma na desnoj strani.

|z_1 \cdot z_2|^2 = (a^2c^2 - 2acbd + b^2d^2) + (a^2d^2 + 2adbc + b^2c^2)

Sređivanjem izraza (poništavanjem mešovitih članova) i grupisanjem faktora dobijamo:

|z_1 \cdot z_2|^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)

Primetimo da su faktori na desnoj strani zapravo kvadrati modula polaznih brojeva.

|z_1 \cdot z_2|^2 = |z_1|^2 \cdot |z_2|^2

Korenujemo obe strane jednakosti. Pošto je moduo uvek nenegativan broj, dobijamo traženi identitet.

|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|

103.b