5305. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Koristimo važnu graničnu vrednost $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e\approx2{,}71828 .$ Proverimo brojevima: za $x=10$ izraz iznosi $\approx2{,}5937 ,$ za $x=100$ $\approx2{,}7048 ,$ za $x=1000$ $\approx2{,}7169 .$ Po pravilu o smeni, isto važi kada umesto $x$ stoji bilo koji izraz $u$ koji teži beskonačnosti: $\left(1+\frac1u\right)^u\to e .$ Ekvivalentno, ako $t\to0 ,$ onda $(1+t)^{\frac1t}\to e .$

Uvodimo smenu $z=3x ,$ tj. $x=\frac z3$ ; kada $x\to\infty ,$ onda i $z\to\infty .$ Izložilac je $2x=\frac23z :$

\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{2x}=\left(1+\frac1z\right)^{\frac23z}=\left[\left(1+\frac1z\right)^{z}\right]^{\frac23}

Izraz u zagradi teži broju $e :$

\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{2x}=e^{\frac23}

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=10:\ f(x)\approx1{,}9267 \\ x=100:\ f(x)\approx1{,}9456 \\ x=1000:\ f(x)\approx1{,}9475\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{2x}=e^{\frac23} .$

Započni učenje

Online časovi

128.ž

Beleške