128.e

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Koristimo važnu graničnu vrednost $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e\approx2{,}71828 .$ Proverimo brojevima: za $x=10$ izraz iznosi $\approx2{,}5937 ,$ za $x=100$ $\approx2{,}7048 ,$ za $x=1000$ $\approx2{,}7169 .$ Po pravilu o smeni, isto važi kada umesto $x$ stoji bilo koji izraz $u$ koji teži beskonačnosti: $\left(1+\frac1u\right)^u\to e .$ Ekvivalentno, ako $t\to0 ,$ onda $(1+t)^{\frac1t}\to e .$

Uvodimo smenu $t=x-1$; kada $x\to1 ,$ onda $t\to0 .$

Smena u graničnoj vrednosti (pravilo iz gradiva): ako nova promenljiva $u$ teži broju (ili beskonačnosti) $u_0$ kada $x\to x_0 ,$ i različita je od $u_0$ za $x\neq x_0 ,$ graničnu vrednost možemo računati po $u .$

Primetimo da je $1+(x-1)=x ,$ pa je ovo isto što i $\lim_{x\to1}x^{\frac{1}{x-1}} .$

Rešenje: $\lim_{x\to1}(1+(x-1))^{\frac{1}{x-1}}=e .$