2081.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Jednačina oblika $y^{f(x)} = 1$ je zadovoljena u tri moguća slučaja:

Slučaj 1: Neka je $y = 1 .$ Zamenom u drugu jednačinu sistema dobijamo vrednost za $x .$

Proveravamo da li je eksponent definisan za $x = 15 .$ Pošto je u pitanju polinom, on je definisan za svako realno $x ,$ pa je prvi par rešenja:

Slučaj 2: Neka je $y = -1 .$ Zamenom u drugu jednačinu dobijamo:

Proveravamo da li je eksponent paran ceo broj za $x = -15 .$

Pošto je 1900 paran ceo broj, uslov je ispunjen. Drugi par rešenja je:

Slučaj 3: Neka je eksponent jednak nuli, odnosno $5x^2 - 51x + 10 = 0 .$ Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu.

Računamo vrednost pod korenom i nalazimo rešenja kvadratne jednačine.

Dobijamo dve moguće vrednosti za $x .$

Za $x_1 = 10 ,$ iz jednačine $xy = 15$ nalazimo odgovarajuće $y .$

Pošto je $y = \frac{3}{2} \neq 0 ,$ uslov je ispunjen. Treći par rešenja je:

Za $x_2 = \frac{1}{5} ,$ iz jednačine $xy = 15$ nalazimo odgovarajuće $y .$

Pošto je $y = 75 \neq 0 ,$ uslov je ispunjen. Četvrti par rešenja je:

Konačno, zapisujemo skup svih rešenja sistema.