Podeli

2864.
Trigonometrijske jednačine

REŠENJE ZADATKA

Pre početka rešavanja, moramo postaviti uslov definisanosti jednačine. Zbog tangensa i razlomka, imenilac ne sme biti nula:

\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo $\operatorname{tg} x$ kao količnik sinusa i kosinusa:

\sin x + \cos x + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x}

Množimo celu jednačinu sa $\cos x$ (što smemo da uradimo jer smo postavili uslov $\cos x \neq 0$ ):

\sin x \cos x + \cos^2 x + \sin x = 1

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ i zamenjujemo u jednačinu:

\sin x \cos x + 1 - \sin^2 x + \sin x = 1

Sređujemo jednačinu oduzimanjem 1 sa obe strane:

\sin x \cos x - \sin^2 x + \sin x = 0

Izvlačimo zajednički činilac $\sin x$ ispred zagrade:

\sin x (\cos x - \sin x + 1) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dva slučaja:

\sin x = 0 \quad \lor \quad \cos x - \sin x + 1 = 0

Rešavamo prvi slučaj:

\sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Proveravamo uslov definisanosti za dobijena rešenja. Za $x = k\pi$ važi $\cos(k\pi) = \pm 1 \neq 0 ,$ pa su ovo validna rešenja.

Sada rešavamo drugi slučaj. Grupišemo članove tako da iskoristimo formule polovine ugla:

\cos x + 1 - \sin x = 0

Primenjujemo identitete $\cos x + 1 = 2\cos^2\frac{x}{2}$ i $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} :$

2\cos^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0

Izvlačimo zajednički činilac $2\cos\frac{x}{2} :$

2\cos\frac{x}{2} \left( \cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} \right) = 0

Ponovo dobijamo dva podslučaja:

\cos\frac{x}{2} = 0 \quad \lor \quad \cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} = 0

Rešavamo prvi podslučaj:

\cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \pi + 2k\pi

Rešenja $x = \pi + 2k\pi$ su već obuhvaćena rešenjima iz prvog slučaja ( $x = k\pi$ ).

Rešavamo drugi podslučaj deljenjem sa $\cos\frac{x}{2}$ (uz pretpostavku da nije nula):

1 - \operatorname{tg}\frac{x}{2} = 0 \implies \operatorname{tg}\frac{x}{2} = 1

Nalazimo rešenja za tangens:

\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi

Međutim, ova rešenja ne zadovoljavaju početni uslov definisanosti ( $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ), pa ih odbacujemo.

Konačno rešenje jednačine je skup svih validnih rešenja:

x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

2864.Trigonometrijske jednačine