2834.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Reši trigonometrijsku jednačinu:

cos⁡(sin⁡x)=32\cos(\sin x) = \frac{\sqrt{3}}{2}
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu t=sin⁡x. t = \sin x . Jednačina postaje:

cos⁡t=32\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu po t: t :

t=±π6+2kπ,k∈Zt = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Vraćamo smenu t=sin⁡x: t = \sin x :

sin⁡x=±π6+2kπ,k∈Z\sin x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Znamo da vrednost sinusne funkcije mora biti u intervalu [−1,1], [-1, 1] , pa mora da važi:

−1≤±π6+2kπ≤1-1 \le \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi \le 1

Procenjujemo vrednost izraza za različite vrednosti celog broja k. k . Pošto je π≈3.14, \pi \approx 3.14 , imamo da je π6≈0.52. \frac{\pi}{6} \approx 0.52 . Za k=0 k = 0 dobijamo vrednosti koje pripadaju intervalu:

±π6∈[−1,1]\pm \frac{\pi}{6} \in [-1, 1]

Za svako k≠0, k \neq 0 , vrednost izraza ±π6+2kπ \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi izlazi izvan granica intervala [−1,1] [-1, 1] (na primer, za k=1 k=1 je 2π−π6≈5.76>1 2\pi - \frac{\pi}{6} \approx 5.76 > 1 ), pa u tim slučajevima jednačina nema rešenja. Dakle, ostaje nam samo slučaj kada je k=0: k = 0 :

sin⁡x=±π6\sin x = \pm \frac{\pi}{6}

Ovo predstavlja dve odvojene jednačine. Rešavamo prvu jednačinu sin⁡x=π6: \sin x = \frac{\pi}{6} :

x=(−1)narcsin⁡(π6)+nπ,n∈Zx = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\pi}{6}\right) + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Zatim rešavamo drugu jednačinu sin⁡x=−π6: \sin x = -\frac{\pi}{6} :

x=(−1)marcsin⁡(−π6)+mπ,m∈Zx = (-1)^m \arcsin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + m\pi, \quad m \in \mathbf{Z}

Koristeći svojstvo neparnosti funkcije arkus sinus, arcsin⁡(−a)=−arcsin⁡a, \arcsin(-a) = -\arcsin a , i kombinujući oba skupa rešenja, opšte rešenje možemo zapisati u kompaktnijem obliku:

x=±arcsin⁡(π6)+lπ,l∈Zx = \pm \arcsin\left(\frac{\pi}{6}\right) + l\pi, \quad l \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti