2821. Trigonometrijske jednačine

Korenujemo obe strane jednačine kako bismo izrazili $\text{tg} x .$

\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}

Sređujemo koren i racionališemo imenilac množenjem brojioca i imenioca sa $\sqrt{3} .$

\text{tg} x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

Ovo nam daje dve odvojene jednačine. Prva jednačina je kada je tangens pozitivan:

\text{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}

Opšte rešenje za jednačinu oblika $\text{tg} x = a$ je $x = \text{arctg} a + n\pi .$ Primenjujemo ovo na prvu jednačinu:

x = \text{arctg} \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Znamo da je $\text{arctg} \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6} ,$ pa dobijamo prvo rešenje:

x_1 = \frac{\pi}{6} + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Druga jednačina je kada je tangens negativan:

\text{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}

Primenjujemo formulu za opšte rešenje na drugu jednačinu:

x = \text{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

S obzirom da je arkus tangens neparna funkcija, važi $\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a) ,$ pa je drugo rešenje:

x_2 = -\frac{\pi}{6} + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje možemo zapisati u objedinjenom obliku:

x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

2821.Trigonometrijske jednačine