2815.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti trigonometrijsku jednačinu:

sin⁡3x+sin⁡12∘=0\sin 3x + \sin 12^\circ = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo, pretvorimo ugao iz stepeni u radijane radi lakšeg računanja sa standardnim trigonometrijskim formulama.

12∘=12⋅π180=π1512^\circ = 12 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{15}

Zapišimo polaznu jednačinu koristeći radijane i prebacimo poznati član na desnu stranu.

sin⁡3x=−sin⁡π15\sin 3x = -\sin \frac{\pi}{15}

Koristeći svojstvo neparnosti sinusne funkcije (−sin⁡α=sin⁡(−α) -\sin \alpha = \sin(-\alpha) ), prepisujemo desnu stranu jednačine.

sin⁡3x=sin⁡(−π15)\sin 3x = \sin\left(-\frac{\pi}{15}\right)

Sada primenjujemo formulu za opšte rešenje jednačine sin⁡X=a, \sin X = a , gde je X=3x X = 3x i a=sin⁡(−π15). a = \sin\left(-\frac{\pi}{15}\right) .

3x=(−1)narcsin⁡(sin⁡(−π15))+πn,n∈Z3x = (-1)^n \arcsin\left(\sin\left(-\frac{\pi}{15}\right)\right) + \pi n, \quad n \in \mathbf{Z}

Pošto važi arcsin⁡(sin⁡α)=α \arcsin(\sin \alpha) = \alpha za α∈[−π2,π2], \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] , jednačina se pojednostavljuje:

3x=(−1)n(−π15)+πn3x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{15}\right) + \pi n

Sredimo izraz množenjem znakova.

3x=(−1)n+1π15+πn3x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{15} + \pi n

Delimo celu jednačinu sa 3 3 kako bismo izrazili x. x .

x=(−1)n+1π45+πn3,n∈Zx = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{45} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbf{Z}

Ovo opšte rešenje možemo razdvojiti na dva skupa rešenja u zavisnosti od parnosti celog broja n. n . Za parno n=2k n = 2k (k∈Z k \in \mathbf{Z} ), dobijamo prvi skup rešenja:

x=(−1)2k+1π45+π(2k)3=−π45+2πk3,k∈Zx = (-1)^{2k+1} \frac{\pi}{45} + \frac{\pi (2k)}{3} = -\frac{\pi}{45} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbf{Z}

Za neparno n=2k+1 n = 2k+1 (k∈Z k \in \mathbf{Z} ), dobijamo drugi skup rešenja:

x=(−1)2k+2π45+π(2k+1)3=π45+2πk3+π3=16π45+2πk3,k∈Zx = (-1)^{2k+2} \frac{\pi}{45} + \frac{\pi (2k+1)}{3} = \frac{\pi}{45} + \frac{2\pi k}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{16\pi}{45} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti