2662.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: (cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2=4sin⁡2α−β2. (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od leve strane identiteta i primenjujemo formule za transformaciju razlike kosinusa i razlike sinusa u proizvod.

cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \\ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}

Zamenjujemo ove izraze u levu stranu identiteta i kvadriramo ih.

L=(−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2)2+(2cos⁡α+β2sin⁡α−β2)2L = \left( -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \right)^2 + \left( 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \right)^2

Računamo kvadrate svakog člana u zagradama.

L=4sin⁡2α+β2sin⁡2α−β2+4cos⁡2α+β2sin⁡2α−β2L = 4 \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} + 4 \cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}

Izvlačimo zajednički faktor 4sin⁡2α−β2 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} ispred zagrade.

L=4sin⁡2α−β2(sin⁡2α+β2+cos⁡2α+β2)L = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} \left( \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} + \cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} \right)

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 da pojednostavimo izraz u zagradi.

sin⁡2α+β2+cos⁡2α+β2=1\sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} + \cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} = 1

Konačno, dobijamo desnu stranu identiteta.

L=4sin⁡2α−β2⋅1=4sin⁡2α−β2L = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} \cdot 1 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti