272.

Tangenta i normala

TEKST ZADATKA

Odrediti jednačinu tangentne grafika funkcije y=3−x−3−2xy=3^{-x}-3^{-2x} u tački x=−1x=-1

REŠENJE ZADATKA

Treba odrediti koordinate tačke (x0, y0)(x_0, \space y_0) kroz koju prolazi tangenta. Vrednost x0=−1x_0=-1 data je u zadatku. Da bi se izračunalo y0y_0 potrebno je izračunati vrednost funkcije u tački x0=−1,x_0=-1, odnosno izračunati y(−1)y(-1) uvrštavanjem vrednosti x u jednačinu krive.

y(−1)=31−32⋅1=3−9=−6y(-1)=3^{1}-3^{2\cdot1}=3-9=-6

Dakle tačka kroz koju prolazi tražena tangenta ima koordinate (x0, y0)(x_0, \space y_0) gde su:

x0=−1,y0=−6x_0=-1, \quad y_0=-6

Prvi izvod funkcije yy po xx računa se kao izvod složene funkcije.

y′=(3−x)′−(3−2x)′=3−xln⁡3⋅(−x)′−3−2xln⁡3⋅(−2x)′=3−xln⁡3⋅(−1)−3−2xln⁡3⋅(−2)y'= (3^{-x})'-(3^{-2x})' = 3^{-x}\ln{3}\cdot(-x)'-3^{-2x}\ln{3}\cdot(-2x)' = 3^{-x}\ln{3}\cdot(-1)-3^{-2x}\ln{3}\cdot(-2)
y′=−3−xln⁡3+2⋅3−2xln⁡3y'=-3^{-x}\ln{3}+2\cdot3^{-2x}\ln{3}

Vrednost izvoda u dobijenoj tački (−1,−6)(-1, -6) je:

y′=−31ln⁡3+2⋅32ln⁡3=(−3+18)ln⁡3=15ln⁡3y'=-3^1\ln{3}+2\cdot3^2\ln{3}=(-3+18)\ln{3}=15\ln{3}

Uvrstiti dobijene vrednosti u jednačinu tangente: y−y0=y′(x0)⋅(x−x0)y-y_0=y'(x_0)\cdot(x-x_0)

y+6=15ln⁡3(x+1)y+6=15\ln{3}(x+1)

Jednačina tangente je:

y=15ln⁡(3)x+15ln⁡3−6y=15\ln{(3)}x+15\ln{3}-6

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti