3379.

182.b

TEKST ZADATKA

Naći najmanji prirodan broj koji pomnožen sa 150 daje: kub prirodnog broja.

REŠENJE ZADATKA

Neka je traženi najmanji prirodan broj x. x . Tada proizvod brojeva 150 150 i x x mora biti jednak kubu nekog prirodnog broja y. y .

150⋅x=y3150 \cdot x = y^3

Da bismo odredili broj x, x , prvo ćemo rastaviti broj 150 150 na proste činioce (kanonska faktorizacija).

150=2⋅3⋅52150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2

Da bi proizvod 150⋅x 150 \cdot x bio kub prirodnog broja, svaki prost činilac u njegovoj faktorizaciji mora imati izložilac koji je deljiv sa 3. 3 .

Pošto broj 150 150 ima činioce 21, 2^1 , 31 3^1 i 52, 5^2 , da bi izložioci postali deljivi sa 3 3 (odnosno najmanje jednaki 3 3 ), broj x x mora sadržati nedostajuće stepene tih prostih brojeva.

x=23−1⋅33−1⋅53−2x = 2^{3-1} \cdot 3^{3-1} \cdot 5^{3-2}

Računamo vrednost broja x. x .

x=22⋅32⋅51x = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1

Množenjem ovih činilaca dobijamo traženi broj.

x=4⋅9⋅5=180x = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180

Možemo proveriti rezultat množenjem. Proizvod je zaista kub prirodnog broja (303 30^3 ).

150⋅180=27000=303150 \cdot 180 = 27000 = 30^3