3368. Prosti brojevi i rastavljanje na proste činioce

TEKST ZADATKA

Neka je $p$ prost broj, $p > 3 .$ Dokazati da je broj $8p^2 + 1$ deljiv sa 3.

REŠENJE ZADATKA

Prema teoremi o deljenju sa ostatkom, svaki prirodan broj se pri deljenju sa 3 može zapisati u jednom od oblika: $3k ,$ $3k+1$ ili $3k+2 ,$ gde je $k$ ceo broj.

Pošto je $p$ prost broj veći od 3, on ne može biti deljiv sa 3 (ne može biti oblika $3k$ ). Zato $p$ mora biti oblika $3k+1$ ili $3k+2 .$

p = 3k + 1 \quad \text{ili} \quad p = 3k + 2

Oblik $3k+2$ možemo zapisati i kao $3(k+1) - 1 ,$ odnosno kao $3m - 1 .$ Zbog jednostavnosti, oba slučaja možemo obuhvatiti jednim izrazom.

p = 3k \pm 1

Sada ćemo kvadrirati broj $p$ kako bismo odredili oblik broja $p^2 .$

p^2 = (3k \pm 1)^2

Primenom formule za kvadrat binoma dobijamo:

p^2 = (3k)^2 \pm 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 \pm 6k + 1

Iz prva dva člana možemo izvući 3 ispred zagrade, čime pokazujemo da $p^2$ pri deljenju sa 3 uvek daje ostatak 1.

p^2 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1

Neka je $m = 3k^2 \pm 2k .$ Pošto je $k$ ceo broj, i $m$ je ceo broj. Tada $p^2$ možemo zapisati u jednostavnijem obliku.

p^2 = 3m + 1

Sada ovaj izraz za $p^2$ zamenjujemo u početni izraz $8p^2 + 1$ čiju deljivost ispitujemo.

8p^2 + 1 = 8(3m + 1) + 1

Množenjem i sređivanjem izraza dobijamo:

24m + 8 + 1 = 24m + 9

Izvlačenjem broja 3 ispred zagrade pokazujemo da je ceo izraz deljiv sa 3.

24m + 9 = 3(8m + 3)

Kako je $m$ ceo broj, i izraz $8m + 3$ je takođe ceo broj. Pošto smo $8p^2 + 1$ zapisali kao proizvod broja 3 i celog broja, dokazali smo da je deljiv sa 3.

3 \mid (8p^2 + 1)

181.b