Podeli

509.
Parcijalna integracija

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{\arctg{x}}{x^2(1+x^2)}\space dx}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu $\arctg{x}=t,$ što znači da je $x=\tg{t},$ i odrediti prvi izvod izraza:

dx=(1+x^2)dt

Uvrstiti smenu u integralu:

\int{\frac{t\cdot\cancel{(1+x^2)}}{\tg^2{x}\cancel{(1+x^2)}}\space dt}=\int{\frac{t}{\tg^2{x}}\space dt}

Integral $\int{\frac{t}{\tg^2{t}} \space dt}$ se rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=t \quad dv=\frac{1}{\tg^2{t}}\space dt

DODATNO OBJAŠNJENJE

Integral $\int{\frac{1}{\tg^2{t}}\space dt}$ tj. integral $\int{\ctg^2{t}\space dt}$ rešiti primenom trigonometrijskih formula:

\int{\frac{\cos^2{t}}{\sin^2{t}}\space dt}=\int{\frac{1-\sin^2{t}}{\sin^2{t}}\space dt}

Primeniti pravilo za sabiranje (tj. oduzimanje) integrala:

\int{\frac{1}{\sin^2{t}}\space dt}-\int{\space dt}

Primeniti tablični integral:

-\ctg{t}-t+C

du=dt \quad v=-\ctg{t}-t

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

(-\ctg{t}-t)t-\int{(-\ctg{t}-t)\space dt}=(-\ctg{t}-t)t+\int{\ctg{t}\space dt}+\int{t\space dt}

Primeniti tablični integral:

(-\ctg{t}-t)t+\ln{|\sin{t}|}+\frac{t^2}{2}+C

Vratiti smenu:

(-\ctg{(\arctg{x})}-\arctg{x})\arctg{x}+\ln{|\sin{(\arctg{x})}|}+\frac{\arctg{x}}{2}+C

Srediti izraz:

-\arctg{x}\cdot\frac{1}{\tg{(\arctg{x})}}-\frac{\arctg^2{x}}{2}+\ln{|\sin{\arctg{x}}|}+C=-\frac{\arctg{x}}{x}-\frac{\arctg^2{x}}{2}+\ln{|\sin{(\arctg{x}})|}+C

509.Parcijalna integracija