506.

Parcijalna integracija

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫arcsin⁡x(1−x2)3 dx\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{(1-x^2)^3}}\space dx}
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu arcsin⁡x=t,\arcsin{x}=t, što znači da je x=sin⁡tx=\sin{t}i uraditi prvi izvod funkcije:

11−x2 dx=dt\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\space dx=dt

Uvrstiti smenu:

∫t⋅1−x2(1−x2)2⋅1−x2 dt=∫t1−x2 dt\int{\frac{t\cdot \cancel{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{(1-x^2)^2}\cdot \cancel{\sqrt{1-x^2}}}\space dt}=\int{\frac{t}{1-x^2}\space dt}

Uvrstiti smenu za x:x:

∫t1−sin⁡2t dt\int{\frac{t}{1-\sin^2{t}}\space dt}

Primeniti formulu za osnovni identitet trigonometrijskih funkcija istog ugla sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2{x}+\cos^2{x}=1

∫tcos⁡2t dt\int{\frac{t}{\cos^2{t}}\space dt}

Integral ∫tcos⁡2t dt\int{\frac{t}{\cos^2{t}}\space dt} se rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati uu i dv:dv:

u=tdv=dtcos⁡2tu=t \quad dv=\frac{dt}{\cos^2{t}}
du=dtv=tg⁡tdu=dt \quad v=\tg{t}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

t⋅tg⁡t−∫tg⁡t dtt\cdot \tg{t}-\int{\tg{t}\space dt}

Primeniti tablični integral:

t⋅tg⁡t−ln⁡∣cos⁡t∣+Ct\cdot\tg{t}-\ln{|\cos{t}|}+C

Vratitit smenu:

arcsin⁡x⋅tg⁡(arcsin⁡x)−ln⁡∣cos⁡(arcsin⁡x)∣+C\arcsin{x}\cdot\tg{(\arcsin{x})}-\ln{|\cos{(\arcsin{x}})|}+C

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti