410.

Parcijalna integracija

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫x⋅sin⁡2x dx\int{x \cdot \sin{2x} \space dx}
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu t:t:

2x=t2x=t

Odrediti izvod od ttpo x:x:

2dx=dt2dx=dt

Zameniti xxsmenom t:t:

∫t2⋅sin⁡t dt2\int{\frac{t}{2} \cdot \sin{t} \space \frac{dt}{2}}

Izvući konstante ispred zagrade:

14∫tsin⁡t dt\frac{1}{4}\int{t\sin{t} \space dt}

Integral ∫tsin⁡t dt\int{t\sin{t} \space dt}rešiti metodom parcijalne integracije. Za promenljive uuidvdvbira se:

u=tdv=sin⁡t dtu=t \quad dv=\sin{t} \space dt

Odrediti duduiv:v:

du=dtv=−cos⁡t dtdu=dt \quad v=-\cos{t} \space dt

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

14(−tcos⁡t−∫−cos⁡t dt)\frac{1}{4}(-t\cos{t}-\int{-\cos{t} \space dt})

Primeniti tablični integral:

14(−tcos⁡t+sin⁡t)+C\frac{1}{4}(-t\cos{t}+\sin{t})+C

Vratiti smenu:

14(−2xcos⁡2x+sin⁡2x)+C\frac{1}{4}(-2x\cos{2x}+\sin{2x})+C

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti