4277.

647.v

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

[(a+bab−2cab):1a+b+2c]:(1a2+1b2+2ab−4c2a2b2)\left[ \left( \frac{a + b}{ab} - \frac{2c}{ab} \right) : \frac{1}{a + b + 2c} \right] : \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} - \frac{4c^2}{a^2b^2} \right)
REŠENJE ZADATKA

Pre početka rešavanja, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli, a takođe ni izrazi kojima delimo (njihovi brojioci postaju imenioci pri množenju recipročnom vrednošću).

a≠0,b≠0,a+b+2c≠0,a+b−2c≠0a \neq 0, \quad b \neq 0, \quad a + b + 2c \neq 0, \quad a + b - 2c \neq 0

Prvo oduzimamo razlomke u prvoj maloj zagradi. Pošto već imaju zajednički imenilac ab, ab , možemo ih spojiti u jedan razlomak.

a+bab−2cab=a+b−2cab\frac{a + b}{ab} - \frac{2c}{ab} = \frac{a + b - 2c}{ab}

Sada delimo dobijeni izraz sa 1a+b+2c. \frac{1}{a + b + 2c} . Deljenje razlomkom je ekvivalentno množenju njegovom recipročnom vrednošću.

a+b−2cab:1a+b+2c=a+b−2cab⋅(a+b+2c)\frac{a + b - 2c}{ab} : \frac{1}{a + b + 2c} = \frac{a + b - 2c}{ab} \cdot (a + b + 2c)

Množenjem brojioca dobijamo razliku kvadrata, jer je (x−y)(x+y)=x2−y2, (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 , gde je x=a+b x = a + b i y=2c. y = 2c .

(a+b−2c)(a+b+2c)ab=(a+b)2−(2c)2ab=(a+b)2−4c2ab\frac{(a + b - 2c)(a + b + 2c)}{ab} = \frac{(a + b)^2 - (2c)^2}{ab} = \frac{(a + b)^2 - 4c^2}{ab}

Sada prelazimo na drugu veliku zagradu. Svodeći sve sabirke na zajednički imenilac a2b2, a^2b^2 , dobijamo:

1a2+1b2+2ab−4c2a2b2=b2a2b2+a2a2b2+2aba2b2−4c2a2b2=a2+2ab+b2−4c2a2b2\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} - \frac{4c^2}{a^2b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} + \frac{2ab}{a^2b^2} - \frac{4c^2}{a^2b^2} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4c^2}{a^2b^2}

U brojiocu prepoznajemo kvadrat binoma a2+2ab+b2=(a+b)2. a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 .

(a2+2ab+b2)−4c2a2b2=(a+b)2−4c2a2b2\frac{(a^2 + 2ab + b^2) - 4c^2}{a^2b^2} = \frac{(a + b)^2 - 4c^2}{a^2b^2}

Sada možemo da izvršimo glavno deljenje. Delimo rezultat iz prve uglaste zagrade sa rezultatom iz druge zagrade, što znači da prvi razlomak množimo recipročnom vrednošću drugog.

(a+b)2−4c2ab:(a+b)2−4c2a2b2=(a+b)2−4c2ab⋅a2b2(a+b)2−4c2\frac{(a + b)^2 - 4c^2}{ab} : \frac{(a + b)^2 - 4c^2}{a^2b^2} = \frac{(a + b)^2 - 4c^2}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a + b)^2 - 4c^2}

Skraćujemo iste izraze u brojiocu i imeniocu: izraz (a+b)2−4c2 (a + b)^2 - 4c^2 se potpuno skraćuje, a a2b2 a^2b^2 i ab ab se skraćuju sa ab. ab .

a2b2ab=ab\frac{a^2b^2}{ab} = ab