4268.

649.d

TEKST ZADATKA

(a3+b3+a2b+ab2)(a3−b3)a5+b5+a2b3+a3b2:(a+b)2−ab(a−b)2+ab \frac{(a^3 + b^3 + a^2b + ab^2)(a^3 - b^3)}{a^5 + b^5 + a^2b^3 + a^3b^2} : \frac{(a + b)^2 - ab}{(a - b)^2 + ab}

REŠENJE ZADATKA

Neka je dati izraz označen sa I. I .

I=(a3+b3+a2b+ab2)(a3−b3)a5+b5+a2b3+a3b2:(a+b)2−ab(a−b)2+abI = \frac{(a^3 + b^3 + a^2b + ab^2)(a^3 - b^3)}{a^5 + b^5 + a^2b^3 + a^3b^2} : \frac{(a + b)^2 - ab}{(a - b)^2 + ab}

Rastavljamo na činioce prvi izraz u brojiocu prvog razlomka grupisanjem članova.

a3+b3+a2b+ab2=a2(a+b)+b2(a+b)=(a2+b2)(a+b)a^3 + b^3 + a^2b + ab^2 = a^2(a + b) + b^2(a + b) = (a^2 + b^2)(a + b)

Primenjujemo formulu za razliku kubova na drugi izraz u brojiocu prvog razlomka.

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Rastavljamo na činioce imenilac prvog razlomka grupisanjem članova, a zatim primenjujemo formulu za zbir kubova.

a5+b5+a2b3+a3b2=a3(a2+b2)+b3(a2+b2)=(a3+b3)(a2+b2)=(a+b)(a2−ab+b2)(a2+b2)\begin{aligned} a^5 + b^5 + a^2b^3 + a^3b^2 &= a^3(a^2 + b^2) + b^3(a^2 + b^2) \\ &= (a^3 + b^3)(a^2 + b^2) \\ &= (a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + b^2) \end{aligned}

Sređujemo brojilac drugog razlomka (delioca) kvadriranjem binoma.

(a+b)2−ab=a2+2ab+b2−ab=a2+ab+b2(a + b)^2 - ab = a^2 + 2ab + b^2 - ab = a^2 + ab + b^2

Sređujemo imenilac drugog razlomka (delioca) kvadriranjem binoma.

(a−b)2+ab=a2−2ab+b2+ab=a2−ab+b2(a - b)^2 + ab = a^2 - 2ab + b^2 + ab = a^2 - ab + b^2

Pre nego što zamenimo dobijene izraze, određujemo uslove definisanosti. Imenioci razlomaka, kao i brojilac delioca, moraju biti različiti od nule.

a5+b5+a2b3+a3b2≠0(a−b)2+ab≠0(a+b)2−ab≠0\begin{aligned} a^5 + b^5 + a^2b^3 + a^3b^2 &\neq 0 \\ (a - b)^2 + ab &\neq 0 \\ (a + b)^2 - ab &\neq 0 \end{aligned}

Iz rastavljenih oblika vidimo da mora važiti (a+b)(a2−ab+b2)(a2+b2)≠0, (a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + b^2) \neq 0 , a2−ab+b2≠0 a^2 - ab + b^2 \neq 0 i a2+ab+b2≠0. a^2 + ab + b^2 \neq 0 . Pošto su izrazi a2−ab+b2 a^2 - ab + b^2 i a2+ab+b2 a^2 + ab + b^2 uvek pozitivni za realne brojeve (osim kada su oba broja nula), uslovi se svode na to da brojevi ne smeju biti suprotni i ne smeju biti istovremeno nula.

a≠−bia2+b2≠0a \neq -b \quad \text{i} \quad a^2 + b^2 \neq 0

Zamenjujemo sve rastavljene i sređene delove nazad u početni izraz.

I=(a2+b2)(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a+b)(a2−ab+b2)(a2+b2):a2+ab+b2a2−ab+b2I = \frac{(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + b^2)} : \frac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - ab + b^2}

Deljenje razlomkom menjamo množenjem njegovom recipročnom vrednošću.

I=(a2+b2)(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a+b)(a2−ab+b2)(a2+b2)⋅a2−ab+b2a2+ab+b2I = \frac{(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + b^2)} \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + ab + b^2}

Skraćujemo iste činioce u brojiocu i imeniocu: (a2+b2), (a^2 + b^2) , (a+b), (a + b) , (a2+ab+b2) (a^2 + ab + b^2) i (a2−ab+b2). (a^2 - ab + b^2) .

I=a−bI = a - b