2334. Logaritamske jednačine

Određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni, a imenioci različiti od nule:

\begin{cases} 3+x > 0 \\ 4-x > 0 \\ \log_6(3+x) \neq 0 \\ \log_2(3+x) \neq 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina:

\begin{cases} x > -3 \\ x < 4 \\ 3+x \neq 1 \implies x \neq -2 \end{cases}

Domen jednačine je:

x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)

Koristimo formulu za promenu osnove logaritma $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ da bismo prešli na osnovu 2:

\frac{1}{\log_6(3+x)} = \frac{1}{\frac{\log_2(3+x)}{\log_2 6}} = \frac{\log_2 6}{\log_2(3+x)}

Sređujemo drugi sabirak koristeći osobinu $\log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x :$

2\log_{0,25}(4-x) = 2\log_{2^{-2}}(4-x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \log_2(4-x) = -\log_2(4-x)

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu:

\frac{\log_2 6}{\log_2(3+x)} - \frac{\log_2(4-x)}{\log_2(3+x)} = 1

Pošto su imenioci isti, možemo spojiti razlomke:

\frac{\log_2 6 - \log_2(4-x)}{\log_2(3+x)} = 1

Množimo obe strane jednačine sa $\log_2(3+x)$ (što je dozvoljeno jer je na domenu različito od nule):

\log_2 6 - \log_2(4-x) = \log_2(3+x)

Prebacujemo $\log_2(4-x)$ na desnu stranu:

\log_2 6 = \log_2(3+x) + \log_2(4-x)

Primenjujemo osobinu zbira logaritama $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy) :$

\log_2 6 = \log_2((3+x)(4-x))

Izjednačavamo argumente logaritama:

6 = (3+x)(4-x)

Množimo izraze u zagradama i sređujemo jednačinu:

6 = 12 + x - x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}

Dobijamo dva rešenja:

x_1 = 3, \quad x_2 = -2

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4) .$ Rešenje $x_2 = -2$ ne pripada domenu, pa ga odbacujemo. Jedino rešenje je:

x = 3

2334.Logaritamske jednačine