2304.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

(x)log⁡3x−1=3(\sqrt{x})^{\log_3 x - 1} = 3
REŠENJE ZADATKA

Zbog prisustva kvadratnog korena i logaritma, prvo određujemo domen jednačine. Argument logaritma i potkorena veličina moraju biti strogo veći od nule.

x>0x > 0

Zapišimo kvadratni koren kao stepen sa racionalnim izložiocem x=x12. \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} .

(x12)log⁡3x−1=3(x^{\frac{1}{2}})^{\log_3 x - 1} = 3

Pomnožimo izložioce koristeći pravilo za stepenovanje stepena (am)n=am⋅n. (a^m)^n = a^{m \cdot n} .

x12(log⁡3x−1)=3x^{\frac{1}{2}(\log_3 x - 1)} = 3

Logaritmujmo obe strane jednačine za osnovu 3.

log⁡3(x12(log⁡3x−1))=log⁡33\log_3 \left( x^{\frac{1}{2}(\log_3 x - 1)} \right) = \log_3 3

Primenimo pravilo za logaritam stepena log⁡a(bc)=c⋅log⁡ab \log_a (b^c) = c \cdot \log_a b i činjenicu da je log⁡33=1. \log_3 3 = 1 .

12(log⁡3x−1)⋅log⁡3x=1\frac{1}{2}(\log_3 x - 1) \cdot \log_3 x = 1

Uvedimo smenu t=log⁡3x t = \log_3 x kako bismo uprostili jednačinu.

12(t−1)t=1\frac{1}{2}(t - 1)t = 1

Pomnožimo jednačinu sa 2 i sredimo izraz da dobijemo kvadratnu jednačinu.

t2−t−2=0t^2 - t - 2 = 0

Rešimo dobijenu kvadratnu jednačinu po t. t .

t1,2=1±(−1)2−4⋅1⋅(−2)2=1±32t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

Dobijamo dva rešenja za t. t .

t1=2,t2=−1t_1 = 2, \quad t_2 = -1

Vratimo smenu za prvo rešenje t1=2. t_1 = 2 .

log⁡3x=2  ⟹  x1=32=9\log_3 x = 2 \implies x_1 = 3^2 = 9

Vratimo smenu za drugo rešenje t2=−1. t_2 = -1 .

log⁡3x=−1  ⟹  x2=3−1=13\log_3 x = -1 \implies x_2 = 3^{-1} = \frac{1}{3}

Oba rešenja zadovoljavaju početni uslov x>0, x > 0 , pa su oba validna. Zapišimo konačan skup rešenja.

x∈{13,9}x \in \left\{ \frac{1}{3}, 9 \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti