Podeli

585.
Logaritamska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\log_{2x}(2-x)<1

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

x>0 \quad\land\quad x\not=\frac12 \quad\land\quad x<2 \implies x\in(0,\frac 12)\ \cup \ (\frac 12,2)

DODATNO OBJAŠNJENJE

2x>0 \quad\land\quad 2x\not=1 \quad\land\quad 2-x>0

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_aa=1, \ a\gt0, \ a\not=1$ tako da izrazi sa obe strane znaka jednakosti imaju istu osnovu:

\log_{2x}(2-x)<\log_{2x}2x

Kako su osnove jednake, moguće je porediti numeruse:

2-x<2x

Rešavanje nejednačine razdvojiti na dva slučaja, kada je osnova veća od $1$ i kada je osnova između $0$ i $1:$

1. \quad 2x>1, \implies x>\frac 12 \\ 2. \quad 0<2x<1 \implies 0<x<\frac12

U prvom slučaju, kada je osnova $2x$ veća od $1$ ne menja se smer znaka nejednakosti. Poređenjem numerusa dobija se nejednačina:

2-x<2x

U drugom slučaju, kada je osnova $2x$ manja od $1$ i veća od $0$ menja se smer znaka nejednakosti. Poređenjem numerusa dobija se nejednačina:

2-x>2x

Pronaći nule funkcije:

2-x=2x

Sređivanjem izraza dobija se:

x=\frac 23

DODATNO OBJAŠNJENJE

2-x-2x=0

2-3x=0

Da bi se odredilo rešenje prvog slučaja, odrediti presek rešenja koje odgovara prvoj nejednačini sa uslovom $x>\frac 12$

x\in(\frac 23, \infty) \ \cap \ (\frac 12, \infty)=(\frac 23, \infty)

Da bi se odredilo rešenje drugog slučaja, odrediti presek rešenja koje odgovara drugoj nejednačini i odrediti presek sa uslovom $x\in(0,\frac 12)$

x\in(-\infty, \frac 23) \ \cap \ (0,\frac 12)=(0,\frac 12)

Rešenje je jednako uniji rešenja oba slučaja, uzimajući u obzir uslove postavljene na početku.

x\in(0,\frac 12) \ \cup \ (\frac 23, 2)

585.Logaritamska nejednačina