4371.

680.d

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu po promenljivoj x x u zavisnosti od realnog parametra m: m :

(m+5)x−m2+25=0(m+5)x - m^2 + 25 = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo izolujemo član sa nepoznatom x x na levoj strani jednačine, dok ostale članove prebacujemo na desnu stranu.

(m+5)x=m2−25(m+5)x = m^2 - 25

Primetimo da je izraz na desnoj strani razlika kvadrata, pa ga možemo rastaviti na činioce.

(m+5)x=(m−5)(m+5)(m+5)x = (m-5)(m+5)

Sada analiziramo slučajeve u zavisnosti od koeficijenta uz x. x . Prvi slučaj je kada je koeficijent različit od nule, odnosno m+5≠0. m+5 \neq 0 .

m≠−5  ⟹  x=(m−5)(m+5)m+5m \neq -5 \implies x = \frac{(m-5)(m+5)}{m+5}

Skraćivanjem razlomka dobijamo jedinstveno rešenje za m≠−5. m \neq -5 .

x=m−5x = m - 5

Drugi slučaj je kada je koeficijent uz x x jednak nuli, odnosno m=−5. m = -5 . Zamenom ove vrednosti u jednačinu dobijamo sledeći izraz:

(−5+5)x=(−5−5)(−5+5)  ⟹  0⋅x=0(-5+5)x = (-5-5)(-5+5) \implies 0 \cdot x = 0

Pošto je dobijena jednakost 0=0 0 = 0 tačna za svako realno x, x , zaključujemo da jednačina ima beskonačno mnogo rešenja.

x∈Rx \in \mathbb{R}

Konačna diskusija rešenja jednačine:

{m≠−5,x=m−5m=−5,x∈R\begin{cases} m \neq -5, & x = m - 5 \\ m = -5, & x \in \mathbb{R} \end{cases}