4334.

675.g

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: 20x+92x+1−24x2+54x2−1=4010x−5+4 \frac{20x+9}{2x+1} - \frac{24x^2+5}{4x^2-1} = \frac{40}{10x-5} + 4

REŠENJE ZADATKA

Prvo rastavljamo imenioce na činioce kako bismo odredili domen jednačine i zajednički imenilac.

4x2−1=(2x−1)(2x+1)10x−5=5(2x−1)4x^2-1 = (2x-1)(2x+1) \\ 10x-5 = 5(2x-1)

Određujemo domen jednačine. Imenioci ne smeju biti nula.

2x+1≠0  ⟹  x≠−122x−1≠0  ⟹  x≠12D=R∖{−12,12}2x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2} \\ 2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2} \\ D = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\}

Sređujemo jednačinu koristeći rastavljene imenioce.

20x+92x+1−24x2+5(2x−1)(2x+1)=405(2x−1)+4\frac{20x+9}{2x+1} - \frac{24x^2+5}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{40}{5(2x-1)} + 4

Skraćujemo razlomak na desnoj strani pre množenja zajedničkim imeniocem.

20x+92x+1−24x2+5(2x−1)(2x+1)=82x−1+4\frac{20x+9}{2x+1} - \frac{24x^2+5}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{8}{2x-1} + 4

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem (2x−1)(2x+1). (2x-1)(2x+1) .

(20x+9)(2x−1)−(24x2+5)=8(2x+1)+4(2x−1)(2x+1)(20x+9)(2x-1) - (24x^2+5) = 8(2x+1) + 4(2x-1)(2x+1)

Oslobađamo se zagrada množenjem binoma i sređivanjem izraza.

(40x2−20x+18x−9)−24x2−5=16x+8+4(4x2−1)40x2−2x−14−24x2=16x+8+16x2−4(40x^2 - 20x + 18x - 9) - 24x^2 - 5 = 16x + 8 + 4(4x^2 - 1) \\ 40x^2 - 2x - 14 - 24x^2 = 16x + 8 + 16x^2 - 4

Sređujemo levu i desnu stranu jednačine.

16x2−2x−14=16x2+16x+416x^2 - 2x - 14 = 16x^2 + 16x + 4

Poništavamo kvadratne članove i prebacujemo nepoznate na jednu stranu.

−2x−16x=4+14−18x=18-2x - 16x = 4 + 14 \\ -18x = 18

Računamo vrednost nepoznate x. x .

x=18−18x=−1x = \frac{18}{-18} \\ x = -1

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto je −1≠±12, -1 \neq \pm \frac{1}{2} , rešenje je validno.

x=−1x = -1