1125.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost brojevnog izraza:

I=52+73−52−73I = \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu tako što ceo izraz izjednačimo sa promenljivom x. x .

x=52+73−52−73x = \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}

Koristimo identitet za razliku kubova u obliku (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b). (a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) . Kubiramo obe strane jednačine.

x3=(52+73)3−(52−73)3−3(52+7)(52−7)3⋅xx^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7})^3 - (\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})^3 - 3 \sqrt[3]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)} \cdot x

Sređujemo članove unutar kubova i računamo proizvod pod trećim korenom koristeći razliku kvadrata.

x3=(52+7)−(52−7)−3(52)2−723⋅xx^3 = (5\sqrt{2}+7) - (5\sqrt{2}-7) - 3 \sqrt[3]{(5\sqrt{2})^2 - 7^2} \cdot x

Računamo vrednost potkorene veličine u proizvodu.

(52)2−72=50−49=1(5\sqrt{2})^2 - 7^2 = 50 - 49 = 1

Zamenjujemo dobijene vrednosti u jednačinu i dobijamo kubnu jednačinu po x. x .

x3=52+7−52+7−313⋅x  ⟹  x3=14−3xx^3 = 5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7 - 3\sqrt[3]{1} \cdot x \implies x^3 = 14 - 3x

Svodimo jednačinu na standardni oblik.

x3+3x−14=0x^3 + 3x - 14 = 0

Proveravamo celobrojna rešenja među deliocima broja 14. Uočavamo da je x=2 x = 2 rešenje jer je 23+3(2)−14=8+6−14=0. 2^3 + 3(2) - 14 = 8 + 6 - 14 = 0 . Deljenjem polinoma ili grupisanjem proveravamo ostala rešenja.

x3−2x2+2x2−4x+7x−14=0  ⟹  (x−2)(x2+2x+7)=0x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + 7x - 14 = 0 \implies (x-2)(x^2 + 2x + 7) = 0

Kvadratna jednačina x2+2x+7=0 x^2 + 2x + 7 = 0 nema realnih rešenja jer je diskriminanta negativna.

D=22−4⋅1⋅7=4−28=−24<0D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24 < 0

Jedino realno rešenje polaznog izraza je:

x=2x = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti